Nivel de Fermi y conductividad

energia fermi

Si opera a temperatura cero,$T = 0$K y llenan los estados de energía de un sistema de acuerdo con el principio de exclusión de Pauli, la energía de Fermi es el límite en el que todos los estados inferiores están llenos y todos los estados superiores están vacíos. En$T = 0$este límite es una línea aguda.

Por ejemplo, supongamos que tiene una escalera con cinco escalones que debe "llenar" con diez electrones. Debido al principio de exclusión de Pauli, cada paso solo puede tomar dos electrones. Ahora llenas la escalera: 2 electrones en el primer escalón, los dos siguientes en el segundo escalón y así sucesivamente hasta que coloques los dos últimos electrones en el 5to escalón. La energía en este paso (el quinto paso) es tu energía de Fermi.

Los metales tienen energías de Fermi de varios electronvoltios (eVs). (Cu: 7 eV, Al: 11 eV) A ​​modo de comparación, la energía térmica a temperatura ambiente es de aproximadamente$k_B T \sim$0,025 eV.

Conexión a la conductividad

Primero debes saber que solo los electrones con una energía cercana a la energía de Fermi pueden participar en el proceso de conducción. ¿Por qué? Mencioné anteriormente que en$T = 0$, la energía de Fermi es una línea aguda. En$T > 0$, esta línea nítida se “borra” y obtienes algo como esto:

$\hspace{1.8in}$

Esto significa que en lugar de solo estados llenos y vacíos, ahora tienes estados medio vacíos por encima y por debajo de la energía de Fermi. Esto a su vez significa que ahora puede excitar electrones en estados de mayor energía, lo que debe hacer si desea acelerarlos en una dirección; es decir, si desea trabajar en ellos.

Pero en consecuencia de los pequeños aportes de las energías térmica y eléctrica (térmica$\sim$0.025 eV, eléctrico menos que eso), solo puede excitar electrones MUY CERCA de la energía de Fermi ($E_F$). Entonces solo los electrones cerca de$E_F$contribuirá a la conducción.

Con este$E_F$puedes asociar una velocidad, la velocidad de Fermi:

Ahora pasemos a la conductividad:

la conductividad$\sigma$Se define como

Uno puede obtener$\tau$de$\mathscr{l}$, el camino libre medio entre dos colisiones, dado como$\mathscr{l} = v_F \tau$o inversamente,$\tau = \mathscr{l}/v_F$. Durante este tiempo, el electrón se acelera. UN GRAN$v_F$por lo tanto, dará como resultado un tiempo de aceleración CORTO y una ganancia de velocidad MENOR para el electrón en una dirección dada.

Finalmente puedes escribir la conductividad como:

Recuerda eso$v_F$, la velocidad de Fermi, está directamente relacionada con la energía de Fermi$E_F$.

Como ejemplo, considere esta tabla de energías de Fermi: el cobre tiene una energía de Fermi MENOR (7 eV) que el aluminio (11 eV), por lo que tiene una velocidad de Fermi MENOR; por lo tanto, el tiempo entre dos colisiones ($\tau$) es MÁS LARGO que el del aluminio. Esto a su vez significa que el electrón tiene MÁS tiempo para acelerar en una dirección determinada, lo que finalmente explica por qué el cobre es un mejor conductor.

Supongo que depende de cómo definas "simple", pero en mi opinión, la mejor respuesta es no ; explicando miles de páginas de libros sobre QM, física del estado sólido, electrónica, reología, etc. "de una manera simple", como requiere la pregunta, implica que estos trabajos podrían reducirse a unas pocas páginas, lo que parece poco probable a primera vista.

Gregor Michalicek ha argumentado (ver los comentarios a continuación) que uno debe pasar por alto este problema y responder una versión diferente de la pregunta en la que se eliminó la cláusula simple . No estoy de acuerdo. Creo que hay muchos ejemplos en la historia de la ciencia en los que se hizo mala ciencia porque la gente pasó por alto los problemas o ignoró suposiciones implícitas u ocultas en su investigación.

En cualquier caso, mi respuesta de que "no" es la mejor respuesta es probablemente imposible de probar. Pero, para intentar defender mi caso, lo que voy a hacer es ver si la otra respuesta aquí es correcta y simple. Si tengo razón, será incorrecto o no será simple.

Como comentario preliminar, la otra respuesta aquí por NoEigenvalue actualmente tiene una casilla de verificación verde, 5 votos a favor, una edición de un revisor y un comentario favorable. Entonces, a primera vista, uno pensaría que mi respuesta es incorrecta, ya que si tengo razón, sugiere que no solo una persona aquí, sino la comunidad también está equivocada.

Sin embargo, veamos si hay algún problema con la respuesta de NoEigenvalue o si no es tan simple como parece.

La respuesta comienza intentando explicar qué es la energía de Fermi usando el modelo de Bohr de un átomo. Sin embargo, luego pasa a decir cuáles son las energías de Fermi para algunos metales. Lo hace haciendo referencia a tablas externas. Omite por completo la derivación basada en densidades de electrones libres y no intenta conectarlos. Mostraré que esto plantea un problema más adelante, porque una dependencia no declarada afecta el argumento de NoEigenvalue.

Luego, la respuesta de NoEigenvalue afirma: "Primero, debe saber que solo los electrones con una energía cercana a la energía de Fermi pueden participar en el proceso de conducción ... En$T>0$... ahora [solo] puede excitar electrones en estados de mayor energía, lo que debe hacer si desea acelerarlos en una dirección ; es decir, si desea trabajar [es decir, producir corriente] en ellos". (énfasis agregado) Este argumento no se explica. En realidad, también es al revés. Desacredité este concepto erróneo aquí. Obviamente, es falso cuando considera cualquiera de los dos . estos metales a bajas temperaturas, donde según el argumento no habría electrones para transportar corriente, y la conducción sería cero. En realidad, aquí es donde se maximiza la conducción y la resistividad (la inversa) se acerca a un mínimo:

A continuación, el autor afirma que$\sigma$es definido por$ne^2\tau/m$dónde$n$es el número de electrones [por unidad de volumen]... Incorrecto. La definición de conductividad es la relación entre la corriente y el campo, o la facilidad del flujo de corriente cuando se presiona. La expresión citada en gran medida solo da una ilusión de confianza, introduciendo un parámetro libre,$\tau$, con una nueva ecuación, que no necesariamente proporciona nueva información física. Por lo tanto, realmente define$\tau(\sigma)$, que se puede argumentar que es una escala de tiempo de intercambio de momento de alguna nube de electrones con una red iónica.

A continuación vemos$\sigma=ne^2l/mv_F$y un argumento sobre cómo si$v_F$es menor en el cobre que en el aluminio, entonces la corriente será mayor. No se indica que esto se base en$n$y$l$siendo el mismo en ambos metales, algo que es poco probable. De hecho, este fue mi punto anterior, que una derivación de$E_F(n)$Estaba faltando. Parece bastante conveniente dado que cambia el argumento posterior; El aluminio es triplemente iónico en lugar de solo iónico, por lo que$n$obtiene un factor de tres de eso, y termina teniendo una densidad de electrones libres que es un factor de$21.1\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}/8.49\times 10^{22} {\rm cm}^{-3}\simeq 2.5$la del cobre . Este factor relativamente grande supera al de energía/velocidad creado por NoEigenvalue en un aparente intento de hacer que el argumento final responda una pregunta de una manera simple porque ese factor de un mero$11/7\simeq 1.6$se suaviza aún más a 1,3 debido a la función de raíz cuadrada en la conversión de energías a velocidades. Entonces, al pie de la letra, si incluye la varianza de$n$en el argumento de NoEigenvalue, en realidad diría que el aluminio tiene una mayor conductividad. Esto claramente es un problema con la respuesta dado que la pregunta es por qué el cobre tiene una mayor conductividad.

En resumen, creo que he demostrado que la supuesta respuesta simple es demasiado simple y también incorrecta en muchos aspectos. Esto no es una prueba de que la mejor respuesta es no, pero probablemente sea un caso sólido de que "no" es una respuesta razonable, si no la mejor respuesta.

Al final del día, creo que la naturaleza no siempre es tan trivial como la versión ficticia que a veces se le ocurre a la gente debido a su propia arrogancia al querer pensar que saben personalmente lo que está pasando y, aparentemente, la versión de la realidad que busca. a través de su pregunta. La humildad es un socio importante de la curiosidad y la buena investigación, y uno no debe dejarla atrás en un deseo egoísta de engañarse a sí mismo para seguir adelante.