Energía media para un gas de electrones libres, en T=0K

Digamos que tienes alguna distribución$D(x)$. Si queremos que esto represente probabilidades, entonces debe ser que

$$A=\int D(x) dx=1$$

Entonces, lo que podemos hacer es simplemente definir una nueva función en términos de$D(x)$y esta integral sobre el dominio de$D$:

$$P(x)=\frac{1}{A}D(x)$$

De modo que la integral sobre el dominio de$P$es$1$.

Ahora, cuando queremos encontrar el promedio de$x$descrito por esta distribución, usamos la definición del promedio

$$\langle x \rangle=\int x P(x) dx=\frac{1}{A}\int xD(x) dx=\frac{\int xD(x) dx}{\int D(x) dx}$$

Entonces, como puede ver, escribir el promedio de esta manera es beneficioso cuando la integral de su distribución no es igual$1$sobre todo el dominio de la distribución, pero aún desea utilizar la distribución como una distribución de probabilidad.

Físicamente, si estamos en$T=0$entonces integrar sobre la densidad de estados es lo mismo que contar electrones, entonces$\int D(E) dE$será igual a$N$. Para resumir, tienes razón.

Comencemos con la función de distribución de Fermi-Dirac

$$n_k(T) = n(\epsilon_k, T) = \frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu(T))/T}+1}.$$ el subíndice $k$etiqueta los estados del sistema, y ​​he incluido explícitamente la dependencia de la temperatura de ambos $n_k$y el potencial químico $\mu$. Además, uso unidades tales que la constante de Boltzman $k_B = 1$.

En$T = 0$, el potencial químico de un sistema de$\textit{fermions}$es aproximadamente constante e igual a la energía de Fermi$E_F$del sistema:$\mu(T=0) \approx E_F$. Cualitativamente entendemos esto ya que$E_F$es la energía más baja (por encima del estado fundamental$E_0 = 0$) estado desocupado del sistema, y$\mu$en general, se puede considerar como la energía requerida para crear o agregar una partícula a un sistema. A temperatura cero entonces,$\mu = E_F$a una aproximación de orden más bajo. Ahora, un examen cuidadoso de la FDD revelará que como$T \rightarrow 0$actúa como una función de paso:$n(\epsilon_k, 0) = 1$para$\epsilon_k < E_F$y$n(\epsilon_k, 0) = 0$para$\epsilon_k > E_F$. Esto es suficiente para nuestro cálculo. Consulte https://en.wikipedia.org/wiki/Sommerfeld_expansion para obtener más detalles.

Ahora, usted ha preguntado acerca de la energía por electrón de tal sistema. Necesitamos dos cosas (1) la energía total del sistema$E$y (2) el número de partículas$N$. Para calcular ambos, ha recurrido a una integral sobre energías de una función de estado de densidad de energía$D(\epsilon)$. Este método funciona maravillosamente pero puede ser un poco obtuso. En cambio, volvamos a la función de distribución de Fermi-Dirac (FDD) que escribí al comienzo de la publicación para calcular$E$y$N$.

En la definición de la FDD, incluí una etiqueta de estado$k$. Para sistema a temperatura$T$, un número promedio$n_k$de partículas ocupará el estado$k$con energia$\epsilon_k$. Para encontrar el número total de partículas en el sistema, solo necesitamos sumar$n_k$sobre todos los estados$k$:

$$N = \sum_k n_k.$$ Para nuestro sistema de electrones, podemos etiquetar cada estado por su posición $\vec{x}$y el impulso $\vec{p}$y giro, que toma uno de dos valores. Por lo tanto, la suma de todos los estados $k$es equivalente a una integral sobre la posición y el momento por un factor de degeneración de espín de 2: $$\sum_k = 2 \int \frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3}.$$ La normalización de la medida integral por la constante de Planck $h$es necesario por razones dimensionales y, en cierto sentido, define el "tamaño" de un estado en el espacio de fase.

Ahora, recuerda nuestro resultado para$n_k$en$T = 0$:$n_k$solo es distinto de cero para estados con energía menor que$E_F$. Si la energía de un estado con cantidad de movimiento$\vec{p}$es dado por$\epsilon(p) = \frac{p^2}{2m}$, entonces nuestra integral estará restringida al momento de magnitud menor que$\sqrt{2mE_F}$. Entonces nuestra expresión para$N$se convierte

$$N = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} = \frac{4\pi V}{h^3} \int_0^{\sqrt{2mE_F}} p^2 dp = \frac{4\pi V}{3 h^3}(2mE_F)^{3/2}.$$ Aquí, $V$es el volumen del sistema.

Podemos realizar el mismo juego con la energía. La lógica no cambia:

$$E = \sum_k \epsilon_k n_k = \int_{p < \sqrt{2mE_F}}\frac{d^3\vec{x}d^3\vec{p}}{h^3} \frac{p^2}{2m}$$ .

Dejaré esta evaluación como ejercicio. El radio$\frac{E}{N}$es lo que buscas.