¿Necesitamos expandir el potencial en una serie de potencias para mostrar [x,V(x)]=0[x,V(x)]=0[x, V(x)] = 0?

No hay nada de malo en tu razonamiento; el problema es que su suposición inicial de que el potencial puede tratarse como un operador de multiplicación debe justificarse. Este es el por qué:

Consideremos el operador potencial$V$actuando sobre un estado$|\psi\rangle$. Dejar$X$denote el operador de posición. La definición de la representación del espacio de posición de$V$actuando sobre la función de onda del espacio de posición$\psi$es como sigue:

$$\begin{align} V\psi(x) = \langle x| V|\psi\rangle \end{align}$$ Como observa, si pudiéramos demostrar de alguna manera que existe alguna función $\tilde V$tal que $$\begin{align} V\psi(x) = \tilde V(x)\psi(x) \tag{$\star$} \end{align}$$ entonces tendríamos $$\begin{align} XV\psi(x) &= X(\tilde V(x)\psi)(x) = \tilde V(x)X\psi(x) = \tilde V(x) x\psi(x) \end{align}$$ mientras que también tendríamos $$\begin{align} VX\psi(x) = V(x\psi)(x) = xV\psi(x) = x\tilde V(x)\psi(x) = \tilde V(x)x\psi(x) \end{align}$$ que daría $XV = VX$como se desee. El problema es que esa propiedad $(\star)$no viene gratis de la definición anterior. Si acaso, $V$se define, por ejemplo, como una función analítica $\tilde V$del operador de posición, entonces esa propiedad (módulo de algunas sutilezas matemáticas) se cumple porque para cualquier potencia entera positiva $n$de $X$, uno tiene $$\begin{align} X^n\psi(x)=\langle x|X^n|\psi\rangle = x^n\langle x|\psi\rangle = x^n\psi(x) \end{align}$$ actuando $X$a la izquierda repetidamente. Luego se usa esto para cada término en la expansión en serie de potencias de $V$en $X$para obtener la propiedad $(\star)$.

Nota. Estoy abusando ligeramente de la notación aquí y usando el mismo símbolo$V$para el operador de posición y su representación de espacio de posición.

Estoy de acuerdo con la respuesta de joshphysic de que su razonamiento es correcto, pero necesita justificar$V(x)$es ser un operador de multiplicación (en el espacio de posición, eso es).

Tal vez la forma en que tiendo a ver esto puede ayudar: encuentro que en asuntos como estos, las motivaciones físicas tienden a ser las más satisfactorias intelectualmente.

Presumiblemente, se trata de una primera ecuación de onda cuantificada con un modelo "semiclásico" de interacción con el mundo exterior, por ejemplo, la ecuación de Schrödinger o Dirac con un potencial conservativo impreso en el hamiltoniano de la partícula cuántica por un núcleo cargado central, aproximadamente inmóvil. La naturaleza cuántica de los orígenes de este potencial se ignora por simplicidad; de lo contrario, estaríamos tratando con un problema cuántico de muchos cuerpos.

Así que una vez que el valor propio$x$de la posición observable$X$se ha medido aplicando el observable al estado de la partícula cuántica, los postulados cuánticos estándar dicen que la partícula debe estar en la posición del estado propio correspondiente a$x$. Entonces, en el instante justo después de la medición, la posición de la partícula es cierta, por lo que el único valor sensato que podemos postular para la medición de "energía potencial" es$v(x)$, dónde$v(x)$es la función de potencial clásica, y el valor del potencial clásico es cierto para el instante posterior a la medición, una vez que sabemos que la posición es$x$.

Lo mismo ocurre con cualquier otra medida de posición con estado propio de posición.

Por lo tanto, vemos que cada estado propio de posición es un estado propio del observable que necesitamos construir para el potencial semiclásico, y dado que los estados propios de posición son completos, es decir, cualquier estado cuántico es una superposición de estos estados, vemos que acabamos de definir completamente la diagonalización de la energía potencial observable. Es decir, es diagonal en coordenadas de posición, es decir, es el operador de multiplicación$V \psi(x) = v(x) \psi(x)$.

Su resultado principal también se deriva de considerar el hecho de que los estados propios de posición hacen que el potencial semiclásico sea cierto, es decir, todos son estados propios y los únicos estados propios para el potencial. Dadas suposiciones razonables adecuadas sobre los operadores y el espacio de estado cuántico en cuestión, los operadores conmutan si y solo si tienen los mismos estados propios.