Necesita asesoramiento sobre el modelo de disco de acreción delgado

Soy profesor de física y estoy construyendo un modelo de disco de acreción simple para mostrar a los estudiantes en una clase de astrofísica (nivel de pregrado), como un ejemplo de modelado de física. Necesito saber si este modelo es lo suficientemente creíble, y que referencias puede haber sobre ese tema, a nivel de pregrado (aún no encontré nada útil).

Considere un cuerpo esférico de masa METRO , estando en reposo en el origen. Un anillo delgado (disco) de masa total metro está girando a su alrededor, con radio interno a y radio exterior b > a . Estoy descuidando la viscosidad. La densidad de la superficie del disco σ es la siguiente (esta elección de función da expresiones simples para la energía mecánica y el momento angular. Ver más abajo):

(1) σ ( r ) = α r 3 2 ,
dónde a ≤ r ≤ b . Nota: me siento un poco inseguro con esta elección arbitraria, por lo que necesito opiniones al respecto . La masa del disco es entonces:
(2) metro = ∫ a b σ ( r ) 2 π r d r = 4 π α ( b − a ) .
Esto da la constante α , que será útil a continuación:
(3) α = metro 4 π ( b − a ) .
La energía mecánica de alguna partícula en órbita circular de radio r es simplemente esto:
d mi = d k + d tu = − GRAMO METRO d metro 2 r ,
entonces, la energía mecánica total del disco es fácil de encontrar:
(4) mi = ∫ d mi = − ∫ a b GRAMO METRO 2 r σ ( r ) 2 π r d r = − GRAMO METRO metro 2 a b .
El momento angular total del disco es este:
(5) L = ∫ GRAMO METRO r d metro = ∫ a b GRAMO METRO r σ ( r ) 2 π r d r = metro 2 ( GRAMO METRO b + GRAMO METRO a ) .

Acreción de materia: Ahora, considero que la materia cae sobre el disco desde el exterior. Pido que se conserve el momento angular (5) (la energía (4) no se conservará). En el momento t = 0 , solo hay un anillo delgado de radio interno y externo b , de masa metro 0 . En el momento t > 0 , el anillo se agranda a un disco de radio interno a ( t ) mientras que el radio exterior b Se mantiene igual. Masa metro ahora es una función del tiempo: metro ⇒ metro ( t ) ≥ metro 0 . La conservación del momento angular (5) da esta restricción sobre el radio interno:

(6) a ( t ) = ( 2 metro 0 − metro ( t ) metro ( t ) ) 2 b .
Darse cuenta de a → 0 cuando metro → 2 metro 0 . Esto me está desconcertando un poco. ¿Por qué el factor de 2?

Finalmente, como modelo simple, considero una masa que crece linealmente con el tiempo: metro ( t ) = metro 0 ( 1 + λ t ) . Esto da el siguiente radio interno para el disco de acreción:

(7) a ( t ) = ( 1 − λ t 1 + λ t ) 2 b ≤ b .

Si bien el momento angular de este modelo se conserva y no hay viscosidad, la energía no se conserva ya que hay materia que cae sobre el cuerpo central. Se ha elegido la densidad de masa (1) porque proporciona expresiones analíticas sencillas (véanse las ecuaciones (2), (4), (5) y (6)).

Ahora bien, ¿es viable este modelo? ¿Es "realista" o al menos lo suficientemente convincente? ¿Alguna referencia para este tipo de modelos mecánicos simples?

¿Y cómo justificar físicamente la densidad superficial (1), sin recurrir a la simplicidad matemática de los resultados?

¿Es posible que desee dejar alguna oportunidad para que los estudiantes validen su modelo?
@JMLCarter, no tienen suficiente conocimiento para determinar por sí mismos si este modelo es viable o no. Ellos están aprendiendo. Y yo mismo, a pesar de ser profesor de física, ¡no soy lo suficientemente experto en astrofísica real y discos de acreción para encontrar esto por mí mismo! :-(
¿Cómo lidia un físico profesional con no saber lo suficiente? Bueno, tal vez esa sea una lección diferente para otro día.
@JMLCarter, a veces, un profesor de física profesional necesita encontrar buenos ejemplos que no se muestran en los libros para introducir algunos temas complicados. ¡También necesitamos ser creativos, y ningún físico sabe todo en física! (excepto tal vez Richard Feynman, ¡pero está muerto de todos modos!).
@cham, ¿enseña a estudiantes de nivel ug o nivel de doctorado? Así parece.. :-)
SOLO leyendo la página de wikipedia, hay una aceptación / a yo pag h a modelo de disco como en Shakura y Sunyaev (1973)? Bueno, eso depende de la viscosidad, sin la cual aparentemente la transferencia de momento angular es demasiado pequeña para causar acumulación. Probablemente no deberías usar la letra / a yo pag h a y/o al menos llevar su modelo a los estándares de 1973 incorporando viscosidad?
@JMLCarter, el α constante es solo, bueno, una constante temporal. puede ser reemplazado por (3) si lo prefiere. No tiene nada que ver con la viscosidad.
Este modelo es totalmente irreal. La viscosidad no se puede despreciar si desea un disco de acreción .
@RobJeffries, la viscosidad está oculta o implícita indirectamente, ya que el disco crece con el tiempo (función a ( t ) ). La órbita de las partículas no puede ser exactamente kepleriana, si metro y a cambiar con el tiempo.

Respuestas (1)

Creo que no es prudente descuidar el papel de la viscosidad en cualquier discusión seria sobre los discos de acreción. La viscosidad es completamente responsable de los pares que transportan el momento angular en el disco y permiten que la materia se acumule, que es lo que los convierte en emisores tan eficientes de radiación electromagnética, que es la razón principal por la que nos preocupamos por ellos.

Como una forma de motivar el papel de la viscosidad, comience con un examen de los anillos de gas en órbitas keplerianas en varios radios. Encontrará que la velocidad angular varía con el radio, por lo que cada anillo se cortará con respecto a sus vecinos (en contraste con la rotación del cuerpo rígido).

En lugar de considerar lo que sucede con la adición de masa, primero es útil considerar cómo la transferencia del momento angular hace que el material en un radio se extienda en un rango de radios, tanto más grandes como más pequeños que el inicial. Si la estructura de velocidad de Kepler se conserva en su mayor parte, el resultado neto es una transferencia de momento angular al gas en radios más grandes en el disco, lo que permite que parte del gas caiga hacia el centro. Esta es una buena oportunidad para usar un poco de análisis dimensional. Para viscosidad cinemática v , y tratando la expansión de la densidad de la superficie del gas como un proceso de difusión, ¿en qué escala de tiempo se transportará radialmente el gas a una distancia comparable al radio R en que empezó? Respuesta: R 2 / v

Si desea considerar lo que sucede cuando agrega masa, un buen lugar para comenzar es determinar el radio circular en el que se asienta inicialmente el material, que corresponde a la órbita con el momento angular específico del material que cae pero con la menor energía. . La idea es que la energía se disipará rápidamente, pero el momento angular se conservará hasta que se produzcan los procesos viscosos antes mencionados.

Más allá de eso, creo que estas notas de clase podrían ser útiles para presentar conceptos clave a nivel de pregrado. Entre otras cosas, ayudan a derivar el estándar r − 3 / 4 ley para la temperatura del disco en radios grandes, que es crucial para explicar sus espectros visibles.

En cuanto a la densidad de la superficie, resulta que la escala también es r − 3 / 4 para los radios donde la temperatura es descrita por esa ley. Quizás la explicación más sencilla de cómo derivar eso se da en el capítulo 5 de este libro de texto , que ciertamente es accesible para estudiantes universitarios avanzados.

Sé que la viscosidad no se puede despreciar en un disco de acreción real. Este modelo anterior es solo una forma simple (simplista) de hacer algo de física clásica a nivel de pregrado, para presentar el tema y como un ejercicio para los estudiantes (haciendo integrales y algo de razonamiento físico).
Además, ¿hay alguna manera de justificar la densidad de la superficie? σ ( r ) ∝ r − 3 2 ? el exponente − 3 2 es "especial" solo porque la energía total y el momento angular son expresiones "bonitas" (ver (4) y (5)).
Entiendo que quieras mantener las cosas simples. Pero no se puede hablar de un disco de acreción sin viscosidad. Sin él, todo lo que tienes es materia en órbitas keplerianas. Supongo que podría hablar sobre el transporte de momento angular sin usar la palabra viscosidad, pero eso parece improductivo. El proceso que describe en el que el material cambia el momento angular pero en el que la viscosidad está ausente no tiene ningún sentido. Además, como dije, σ ∝ r − 3 / 2 no es la escala correcta, , r − 3 / 4 es. Deducir esto requiere una serie de restricciones, incluido el papel de la viscosidad
Tal vez pueda decir esto de otra manera: si comienzas con un anillo de materia y quieres conservar el momento angular global, siendo la única fuerza externa la atracción gravitatoria del objeto masivo central, entonces para que ocurra cualquier acreción algo de materia de ese el anillo debe moverse a radios mayores y menores. Su afirmación de que la órbita radial más grande dice que es fija no puede ser cierta. Pensar en cómo ocurre realmente el transporte del momento angular puede evitar este problema.
Estaba arreglando el radio exterior porque el asunto está cayendo allí (restricción geométrica). Si b no es fijo, entonces tendré dos variables en el momento angular (5), y la conservación del momento angular por sí sola no me permite encontrar ambas. Fijación b déjame expresar a en función de la masa (ecuación (6)). ¿Y cómo sugeriría introducir la viscosidad en este modelo, manteniendo las cosas muy simples?
Intenté hacerlo con la discusión sobre cómo derivar la escala de tiempo de entrada radial a partir del análisis dimensional en mi respuesta publicada. Para ir más allá de eso, y en particular para derivar σ ∝ r − 3 / 4 , toma varias líneas de álgebra y algunas consideraciones físicas adicionales, como la forma en que la radiación transporta el calor. Se presenta mejor en el capítulo del libro de texto al que me referí. Creo que parte del problema aquí es que los discos de acreción son inherentemente sistemas 2D. ¿Quizás su instrucción de modelado sería mejor si comenzara en una configuración 1D, como una estrella simple?
ajuste 1D? ¿Puede agregar a su respuesta una derivación de la densidad de la superficie, en 1D o 2D?
Disculpe la confusión, quise decir un problema 1D completamente separado, no relacionado con este problema de disco, solo como un sistema alternativo y más simple para presentar modelos matemáticos a sus alumnos; no se usaría para derivar la densidad de la superficie en un disco de acreción . Proporcioné un enlace a un texto que deriva la ley de densidad superficial para el disco; si tengo tiempo lo escribiré aquí yo mismo, aunque dada la extensión quizás sea mejor consultar la referencia.
Al menos, mi exponente es negativo, como el tuyo (la densidad superficial disminuye con la distancia), en lugar de lo contrario. Acerté al elegir no una constante σ (densidad uniforme) o una variación lineal o peor.
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