Conservación del momento angular de espín en un sistema binario cerrado

Este método está tomado de la Mecánica clásica de Taylor, en la sección "Problemas de fuerza central de dos cuerpos". Esto va mucho más en profundidad de lo necesario y asume densidades uniformes de las estrellas para facilitar el cálculo (aunque esto no es necesario).

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tl: dr: El Lagrangiano es independiente del ángulo de cada estrella con respecto al centro de masa, e independiente del ángulo de rotación de cada estrella, por lo que el orbital total y el momento angular de rotación de cada estrella se conservan de forma independiente. Esto se logra mediante el cambio de masa que representa el cambio en las velocidades de rotación. Tenga en cuenta que esto no requiere bloqueo de marea u órbitas circulares.

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Llevar$\vec{R}$ser la posición del centro de masa.

$$\vec{R}=\frac{m_1\dot{}\vec{r}_1+m_2\dot{}\vec{r}_1}{m_1+m_2}=\frac{m_1\dot{}\vec{r}_1+m_2\dot{}\vec{r}_2}{M}$$

dónde$M≡m_1+m_2$.

Posteriormente podemos definir$\vec{r}_1=\vec{R}+\frac{m_2}{M}\vec{r}$y$\vec{r}_2=\vec{R}-\frac{m_1}{M}\vec{r}$, dónde$\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$

La energía cinética es

$$T=\frac{1}{2}(m_1\dot{\vec{r}}^2_1+m_2\dot{\vec{r}}^2_2+\frac{2}{5}m_1 s_1^2\omega_1^2+\frac{2}{5}m_2 s_2^2\omega_2^2)$$

dónde$s_i$son los radios de las estrellas, y$\omega _i$son las velocidades rotacionales (no orbitales). Podemos reducir esto a

$$T=\frac{1}{2}(m_1\dot{\vec{r}}^2_1+m_2\dot{\vec{r}}^2_2+\frac{2}{5}m_1 s_1^2\omega_1^2+\frac{2}{5}m_2 s_2^2\omega_2^2)$$ $$T=\frac{1}{2}[m_1(\dot{\vec{R}}+\frac{m_2}{M}\dot{\vec{r}})^2+m_2(\dot{\vec{R}}-\frac{m_1}{M}\dot{\vec{r}})^2]+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$$

$$T=\frac{1}{2}[M\dot{\vec{R}}^2+\frac{m_1 m_2}{M}\dot{\vec{r}}^2]+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$$

Esto nos permite definir una nueva cantidad, la masa reducida:$\mu≡\frac{m_1 m_2}{M}$. finalmente conseguimos

$$T=\frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^2+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)$$

Para el Lagrangiano total, tomando una energía potencial$U=U(r)$, entonces, obtenemos

$$L=T-U=\frac{1}{2}M\dot{\vec{R}}^2+\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)-U(r).$$ Podemos ver que dado que el Lagrangiano es independiente de $\vec{R}$, eso $M\ddot{\vec{R}}=0$o $\dot{\vec{R}}=const.$. Esto nos dice que se conserva el impulso total , nuestra primera ley de conservación. Esto se debe a que, en el sistema cerrado, $\dot{m_1}=-\dot{m_2}$, entonces $\dot{M}=0$.

Desde$\dot{\vec{R}}=const.$, podemos pasar al marco de descanso CM, por lo que$\dot{\vec{R}}=0$.

$$L=\frac{1}{2}\mu\dot{\vec{r}}^2+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\omega_1^2+m_2 s_2^2\omega_2^2)-U(r).$$

Dejar$\dot{\vec{r}}^2=\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2$,$\omega_i ^2=\dot{\theta}_i^2$.

$$L=\frac{1}{2}\mu(\dot{r}^2+r^2\dot{\phi}^2)+\frac{1}{5}(m_1 s_1^2\dot{\theta}_1^2+m_2 s_2^2\dot{\theta}_2^2)-U(r).$$

El lagrangiano es independiente de$\phi$, por lo que de nuevo obtenemos una ecuación de conservación.

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi}}=\mu r^2\dot{\phi}=const=l_{orbit}$$

Esto nos dice que el momento angular orbital se conserva. Aparentemente

$$\mu r^2 \ddot{\phi} + 2 \mu r \dot{r} \dot{\phi} + \dot{\mu} r^2 \dot{\phi} = 0.$$

Si tuvieras curiosidad,$\dot{\mu}=\frac{\dot{m}_2 (m_1-m_2)}{M}=\frac{\dot{m}_1 (m_2-m_1)}{M}$.

Nuevamente, dado que el Lagrangiano es independiente de ambos$\theta _1$y$\theta _2$, se conserva el momento angular de rotación individual de cada estrella.

Podemos encontrar eso

$$\frac{2}{5}m_i s_i ^2 \dot{\theta}_i = const = l_{rot,i}$$ y aparentemente $$m_i s_i ^2 \ddot{\theta}_i + 2 m_i s_i \dot{s_i} \dot{\theta}_i + \dot{m}_i s_i ^2 \dot{\theta}_i = 0,$$ dándonos nuestra última ecuación de restricción. Resolviendo el Lagrangiano para $r$nos dice las ecuaciones de movimiento.