n parejas casadas, se sientan aleatoriamente en una mesa redonda. Encuentre la probabilidad de que k parejas se sienten juntas.

Un total de 2n personas, que consisten en n parejas casadas, están sentadas al azar en una mesa redonda. Encuentre la probabilidad de que k de las parejas (k<n) estén sentadas juntas.

Encontremos primero la probabilidad de que una de las parejas se siente junta. Una vez que las 2 personas están sentadas en algún lugar, el resto$2n-2$se puede sentar en$(2n-2)!$maneras, además de que los 2 miembros de la pareja también pueden sentarse en$2!$maneras. Por otro lado, 2n personas en disposición circular pueden sentarse en$(2n-1)!$maneras, por lo tanto la probabilidad es$\frac {2!(2n-2)!}{(2n-1)!} = \frac{2}{(2n-1)}$.

Ahora consideremos una segunda pareja sentada junta: una vez que la primera pareja se ha sentado, tenemos$2n-2$asientos libres, la pareja 1 (que consideramos como una sola unidad) y una pareja 2 (también como una sola unidad), por lo que$2n-4+1$se puede arreglar en$(2n-3)!$maneras, y las 2 parejas también se pueden arreglar en$2!.2!$maneras. Entonces, la probabilidad de que 2 parejas se sienten juntas (en algún lugar de la mesa) es$\frac{2!.2!.(2n-3)!}{(2n-1)!}$.

Para el$k_{th}$pareja, la probabilidad es$\frac{2!.2!.2!...2!.k!.(2n-2k-1)!}{(2n-1)!}$.

¿Es correcto? Sé que este es un problema muy común, pero no he encontrado esta variación (con k parejas) en ninguna parte. ¿Me puedes ayudar? ¡Gracias!