Multiplicador de Lagrange y fuerza de restricción

Sea dada una variedad (configuración)$M$. A menudo en física se supone que una función de restricción $\chi$obedece las siguientes condiciones de regularidad:

1. $\chi: \Omega\subseteq M \to \mathbb{R}$se define en una vecindad abierta$\Omega$de la subvariedad restringida$C\subset M$;

2. $\chi$es (suficientemente$^1$muchas veces) diferenciable en$\Omega$;

3. el gradiente$\vec{\nabla} \chi$no se desvanece en la subvariedad restringida$C\subset M$.

Aquí se entiende implícitamente que$\chi$desaparece en la subvariedad restringida$C\subset M$, es decir

$$C\cap \Omega ~=~\chi^{-1}(\{0\})~:=~\{x\in\Omega \mid \chi(x)=0\}.$$

[También imaginamos que la subvariedad completamente restringida$C\subset M$está cubierto por una familia$(\Omega_{\alpha})_{\alpha\in I}$de vecindades abiertas, cada una con una función restringida correspondiente$\chi_{\alpha}: \Omega_{\alpha}\subseteq M \to \mathbb{R}$, y tal que la restricción funciona$\chi_{\alpha}$y$\chi_{\beta}$son compatibles en las superposiciones de vecindad$\Omega_{\alpha}\cap \Omega_{\beta}$.] Dado que (localmente) solo hay una restricción, la subvariedad restringida será una hipersuperficie , es decir, de codimensión 1. [Más generalmente, podría haber más de una restricción: entonces las condiciones de regularidad anteriores deben modificarse en consecuencia. Véase, por ejemplo, Ref. 1 para más detalles.]

Las condiciones de regularidad anteriores estrictamente hablando no siempre son necesarias, pero simplifican enormemente la teoría general de los sistemas restringidos . Por ejemplo, en los casos en los que a uno le gustaría utilizar el teorema de la función inversa , el teorema de la función implícita o reparametrizar$\chi\to\chi^{\prime}$las limitaciones. [La condición de rango (3.) se puede vincular a la no desaparición del jacobiano$J$en el teorema de la función inversa.]

Mecánicamente cuánticamente, las reparametrizaciones de restricciones pueden inducir un factor determinante similar a Faddeev-Popov en la integral de trayectoria.

Ejemplo 1a: primer ejemplo de OP (v1)

$$\tag{1a} \chi(x,y)~=~x^2+y^2-\ell^2$$ fallaría la condición 3 si $\ell=0$. Si $\ell=0$, entonces $C=\{(0,0)\}\subset M=\mathbb{R}^2$es sólo el origen, que tiene codimensión 2. Por otro lado, el $\chi$-la restricción satisface las condiciones de regularidad 1-3 si $\ell>0$.

Ejemplo 1b: primer ejemplo de OP (v3)

$$\tag{1b} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2}-\ell$$ no es diferenciable en el origen $(x,y)=(0,0)$, y por lo tanto fallaría la condición 2 si $\ell=0$. Por otro lado, el $\chi$-la restricción satisface las condiciones de regularidad 1-3 si $\ell>0$.

Ejemplo 2a: Suponga$\ell>0$. Segundo ejemplo de OP (v1)

$$\tag{2a} \chi(x,y)~=~\sqrt{x^2+y^2-\ell^2}$$ fallaría la condición 1 y 2. La raíz cuadrada no está bien definida en un lado de la subvariedad restringida $C$.

Ejemplo 2b: Suponga$\ell>0$. Segundo ejemplo de OP (v3)

$$\tag{2b} \chi(x,y)~=~(x^2+y^2-\ell^2)^2$$ fallaría la condición 3 ya que el gradiente $\vec{\nabla} \chi$desaparece en la subvariedad restringida $C$.

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1994; Subsección 1.1.2.

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$^1$Exactamente cuántas veces diferenciable depende de la aplicación.

En general, está bien hacer esto siempre que la restricción sea holonómica. Cualquier función diferenciable (suficientemente) que se anula en la subvariedad de interés, se define en una vecindad abierta de esta última, y ​​cuyo gradiente no se anula allí, funcionará bien.

La razón de esto es que cualquier otra función similar$h$se puede escribir en términos de la función original$f$como

$$h=fg,$$ dónde $g$no desaparece en la subvariedad restringida. Esto puede cambiar la magnitud del gradiente de $h$pero no su dirección: $$\nabla h =g \nabla f + f\nabla g=g\nabla f.$$ Más intuitivamente, los gradientes de $f$y $h$ambos deben ser ortogonales a su contorno compartido, la subvariedad restringida y, por lo tanto, deben ser linealmente dependientes.

En general, las ecuaciones de movimiento correspondientes serán diferentes, pero tendrán las mismas soluciones. El multiplicador de Lagrange, incluida su dependencia del tiempo, obviamente debe cambiar.

Tenga en cuenta, por otro lado, que esto funciona como se indica solo para restricciones holonómicas; debería funcionar para los anholonómicos, pero no puedo ver la prueba. Finalmente, su segundo ejemplo, que incluye una raíz cuadrada, no está definido en una vecindad abierta del círculo y, por lo tanto, no es válido.