¿Son las coordenadas generalizadas verdaderamente independientes?

Estás perdiendo información al hacer esa transformación. En particular, solo conocerá la órbita de la partícula y perderá toda la información sobre la velocidad.

En general, una transformada de coordenadas generalizada de un conjunto de$x^{a}$a un conjunto de$y^{a}$sólo será válida si, para la matriz$M_{ab} = \frac{\partial y^{a}}{\partial x^{b}}$, tienes${\rm det}\left( M_{ab}\right) \neq 0$

1. Cuando preguntamos si las coordenadas generalizadas $q^j$son independientes, por definición queremos decir antes de usar cualquier diferencial$^1$ecuaciones de movimiento. Por definición, una ecuación diferencial de movimiento no se considera una restricción.

2. Las coordenadas generalizadas podrían ser dependientes si tenemos restricciones adicionales implementadas a través de multiplicadores de Lagrange .

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$^1$Por ecuaciones de movimiento , nos referimos a las ecuaciones de Lagrange (a diferencia de las identidades puramente cinemáticas). Por ecuaciones diferenciales de movimiento, nos referimos a ecuaciones de movimiento con derivadas en el tiempo.

No deberías intentar hacer$t$una coordenada; es una etiqueta para las coordenadas, sobre las cuales se integra el Lagrangiano dependiente de las coordenadas para formar la acción. (El problema más obvio que esto causa es que el momento del tiempo no está definido, a saber.$\frac{\partial L}{\partial \dot{t}}=\frac{\partial L}{\partial 1}$.) Sería como tratar de cambiar los campos en una teoría para que uno se reemplace con las coordenadas de espacio-tiempo que etiquetan los campos (tenga en cuenta que estos se integran para obtener la acción de una teoría de campo, que es que cualquier campo es análogo a las coordenadas generalizadas).