Movimiento armónico de carga negativa entre dos positivas [cerrado]

Debo demostrar que una carga negativa ejecutará un movimiento armónico cuando se coloque en la línea que separa dos cargas positivas q . (La carga negativa − q no se colocará en el centro).
Entiendo claramente que será un movimiento armónico, pero no puedo mostrarlo matemáticamente: lo he intentado de la manera tradicional:
sean las dos cargas positivas q 1 y q 2 , y la posición del − q la carga está en un X distancia desde el centro:

F 1 − F 2 = metro a
Dónde
F 1 = k q 1 q ( d / 2 − X ) 2
Y
F 2 = k q 2 q ( d / 2 + X ) 2
El problema es que no puedo cambiar esta ecuación para obtener la ecuación diferencial de movimiento armónico simple tradicional.
Cualquier ayuda sería genial.
¡Gracias!

Esta es una muy buena pregunta. No tengo idea de por qué esto estaba cerrado...

Respuestas (1)

El movimiento no puede ser a lo largo de la línea que une las cargas +ve porque tal movimiento es inestable: la carga -ve se aceleraría alejándose del punto central y hacia la carga +ve más cercana.

Creo que se debe suponer que la carga -ve se mueve a lo largo de la bisectriz perpendicular de las dos cargas +ve y está obligada a permanecer en esta línea. en aceleración hacia una de las cargas.

Supongamos que las dos cargas +ve son 2 d aparte y la carga -ve es la distancia y desde su punto medio a lo largo de la bisectriz perpendicular. estoy usando y para distinguir el desplazamiento transversal del desplazamiento longitudinal X a lo largo de la línea que une las cargas +ve.

Entonces la distancia r entre las cargas -ve y +ve viene dada por r 2 = d 2 + y 2 y la fuerza de atracción de cualquiera de las cargas es k q q / r 2 . El total de las componentes de estas fuerzas a lo largo de la bisectriz es la fuerza restauradora
F = 2 ( k q q / r 2 ) ( y / r ) = 2 k q q ( y / r 3 ) .

Para pequeños valores de y << d tenemos r 3 ≈ d 3 entonces la ecuacion de movimiento es:
metro y ¨ = − F = − 2 k q q ( y / d 3 )
y ¨ + ω 2 y = 0
dónde ω 2 = 2 k q q / metro d 3 .

La oscilación es solo armónica para pequeños desplazamientos. y << d .

La estabilidad es un concepto matemático. ¿Puedes demostrar que es inestable matemáticamente? "Porque yo lo digo" funciona a veces, pero las matemáticas siempre tienen la última palabra. (Estoy intentando pero estoy oxidado). Necesidad de integrar más ( d 2 ± X )   /   | d 2 ± X | 3 .
@uhoh: no creo que las matemáticas sean necesarias para reconocer la inestabilidad aquí. En este escenario, si la carga -ve está más cerca de una de las cargas +ve que de la otra, la fuerza neta sobre ella se alejará de la posición central y aumentará a medida que aumente la asimetría.
Si se supone que son colineales en el problema, ¿podría la carga negativa simplemente pasar a través de la otra carga, luego dar la vuelta y pasar de nuevo? El problema no dice "protón" o "ion", solo carga Q y -q, que son construcciones puramente matemáticas. De todos modos, tengo el presentimiento de que su interpretación (y la de @knzhou) podría ser correcta: el problema podría suponer que la posición inicial se desplaza perpendicularmente a la línea que conecta las otras dos.
@uhoh: Esa es una sugerencia interesante. No sé cómo funcionaría eso matemáticamente, pasando por un punto de energía potencial infinita − k q q / r como r → 0 . Si funciona, creo que sería difícil calcular el período. Si las 3 cargas fueran +ve, entonces la oscilación colineal es posible, pero nuevamente inestable frente a las perturbaciones laterales.
La pregunta es buena, así es como se ve una solución de Scholarpedia .
@uhoh: la carga -ve parece 'rebotar' en las cargas +ve cuando las alcanza, en lugar de 'pasar' como sugiere anteriormente. Eso no parece correcto. ¿Por qué debería cambiar de dirección de esa manera? ¿Por qué debería ser atraído cuando se está moviendo hacia una carga positiva y luego repelido cuando se está alejando?
¡Es una buena pregunta! Es posible que la animación tenga un error; por ejemplo, la persona que hizo la animación usó un atajo que no cambia los colores de los dos. En realidad, se parece mucho a tres partículas que se atraen mutuamente (por ejemplo, la gravedad) y el color rojo simplemente salta a cualquiera que esté entre los otros dos. Creo que tienes razón, ¡esto parece incorrecto!
Encontré este gráfico en Una prueba de existencia topológica para las órbitas de Schubart en el problema de los tres cuerpos colineales - Richard Moeckel . ¡Parece que el GIF no está mal después de todo! Imagine una órbita hiperbólica entre dos planetas que giran uno junto al otro (fuerza de atracción 1/r^2), si se aleja lo suficiente como para no poder resolver la distancia de aproximación más cercana, parecería que rebotan entre sí. De acuerdo, el papel es para la gravedad, no para la carga. ¡Esto se pone cada vez más interesante!
Sí, esto es muy interesante de hecho. No sabía que tales soluciones son posibles. Su animación se parece a la Fig.1. Sí, supongo que la partícula más liviana pasa infinitesimalmente cerca de las partículas puntuales más pesadas, y 'dispara' hacia atrás, lo que parece 'rebotar'. Que las 2 partículas más pesadas no se acerquen más y choquen entre sí también es notable, pero no imposible. Gran hallazgo. Bien hecho por seguir cavando. (¡¿Puedes calcular la frecuencia angular?!)
@uhoh Realmente no entendí el caso colineal. (Proporcionó citas, pero no estoy familiarizado con ese nivel de detalles). ¿Puedes explicar por qué la carga negativa de las bolas se mueve hacia la carga positiva y de repente rebota al final? ¿Por qué no se quedan pegados felizmente para siempre?
La pregunta de @tatan the OP habla de cargas (sugiere que tienen carga) que se mueven con un movimiento armónico simple (sugiere que también tienen masa). Más allá de eso, no hay nada en la pregunta del OP que proporcione un mecanismo de "pegado". Es un problema matemático simple sin mucha realidad, por lo que debe hacer la menor cantidad de suposiciones posible.
@uhoh Ok. Pero si alguien te plantea el problema -"¿Qué crees que pasaría si en el caso mencionado arriba desplazaras la carga del medio a lo largo de la línea que une las otras dos cargadas?"... ¿responderías fácilmente a su armónico simple? Si es así por qué ?
@tatan SHM es una aproximación útil en muchos problemas de física, incluso si un análisis más detallado da algo diferente. En este caso, creo que aún no está claro la amplitud y, lo que es más importante, la dirección del movimiento, por lo que no respondería.
Movimiento armónico de carga negativa entre dos positivas [cerrado]
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v