¿Motivaciones para el dialeteísmo?

Para seguir su ejemplo, no creo que nadie acepte verdaderas contradicciones. Es decir, nadie acepta nunca 'P y -P' como 'verdaderos'. Las lógicas paraconsistentes permiten en una prueba que tanto P como -P se afirmen por separado, pero la lógica permite que la prueba de otras cosas continúe sin que toda la prueba se desmorone -en- el sistema de prueba. No es un teorema (por ejemplo, en lógica de relevancia) que

(P y -P) -> Q

(ex falso quodlibet) pero eso no significa que 'P y -P' -es- un teorema.

Las verdaderas contradicciones (o, lo que creo que quieres decir, inconsistencias) nunca se aceptan como teoremas, pero a veces se 'toleran' siempre que no estropeen algo más.

Aquí hay otra motivación para el dialetismo: la teoría de conjuntos inconsistente :

1. Permite una formalización de la teoría de conjuntos ingenua con la expectativa ingenua de que cualquier predicado determina un conjunto. Es decir, es otra solución a la paradoja de Russell aparte de la teoría de tipos o ZFC.

2. Entonces tiene un conjunto universal, y la paradoja de Cantor ahora es un teorema.

3. Esta teoría prueba el axioma de elección y refuta la hipótesis del continuo .

4. Desarma los dos teoremas de Gödel que descarrilaron el programa de Hilbert , para que el programa pueda revivir y completarse.

5. Tarski demostró que el predicado de verdad no es definible en ZFC. En los fundamentos paraconsistentes se muestra que un predicado de verdad inconsistente es definible.

Estos me parecen logros bastante notables.

Mi ejemplo favorito es uno que Graham Priest y Jay Garfield identifican en el pensamiento de Nāgārjuna, al que llaman la paradoja de Nāgārjuna ; se describe en su artículo conjunto, Nāgārjuna and the Limits of Thought .

La versión esquemática es la siguiente (citando el artículo antes mencionado):

Si Nāgārjuna tiene razón en su crítica de la esencia, y si resulta que todas las cosas carecen de naturalezas fundamentales, resulta que todas tienen la misma naturaleza, es decir, la vacuidad, y por lo tanto tienen y carecen de esa misma naturaleza. Esta es una consecuencia directa del carácter puramente negativo de la propiedad de la vacuidad, una propiedad que Nāgārjuna caracteriza completamente por primera vez, y cuya centralidad para la filosofía demuestra por primera vez.

Obviamente, esto está lejos de ser la corriente principal en términos de la mayoría de la filosofía occidental, pero Nāgārjuna forma la base filosófica de casi todo el budismo Mahāyāna, por lo que en realidad es una posición bastante ortodoxa (en algunos sectores).

EDITAR: Debido a la reformulación de la pregunta y la conversación en los comentarios, intentaré elaborar aquí un poco más sobre el tema en general.

Dado que el interrogador original se refiere a un trasfondo matemático, intentaré ceñirme a los ejemplos matemáticos.

Comencemos con una paradoja trivial. Sabemos, por supuesto, que hay números enteros que no son números primos. De hecho, parece que hay un buen número de ellos. Y, sin embargo, también sabemos que hay exactamente tantos números primos como enteros. Tenemos aquí una simple paradoja; dos afirmaciones contradictorias que son ambas verdaderas.

De manera similar, podemos observar la paradoja de Russell , que parece apuntar a problemas relacionados con la naturaleza de los conjuntos, o la paradoja de Burali-Forti .

Una versión anterior de la pregunta se refería al dicho de Heráclito de que uno no puede meterse dos veces en el mismo río. No se trata simplemente de una cuestión de "imprecisión en el lenguaje", sino que llega al corazón de lo que significa la noción de identidad.

Y, como ha señalado Tarski , cualquier lenguaje que tenga una función de verdad estará sujeto a la paradoja del mentiroso. El hecho de que el interrogador opte por considerar esto como "no significativo" es interesante, ya que plantea la cuestión de qué criterios rigurosos se podrían elegir para excluirlo (y otras proposiciones similares).

Cada uno de estos representa una verdadera paradoja ; ninguno se debe a la imprecisión del lenguaje, equívocos o condiciones limítrofes mal definidas. Hay algunas partes del mundo que, lamentablemente, son paradójicas, y si uno permanece comprometido con la lógica explosiva, se enfrenta a la perspectiva de a) intentar resolver satisfactoriamente todas estas paradojas ( y muchas otras ), o b) abandonar la razón por completo (ya que ahora todo y nada es demostrable).

Tiendo a ver la presencia de paradojas no como una indicación de que la calidad del modelo es mala, sino todo lo contrario; cualquier modelo que no contenga paradojas es muy probablemente un modelo demasiado simple para modelar con precisión nuestro mundo (y basado en axiomas insuficientemente sutiles).

Del artículo de SEP al que se vincula, hay muchas justificaciones para el dialeteísmo (pero también muchas objeciones). Pero para responder a sus preguntas directas:

• como ejemplo, muchos son (como lo da el artículo), incompatibilidades de contexto, ya sea vaguedad (transiciones continuas), o anfibólica (una palabra que tiene múltiples significados distintos), o diferentes sistemas de reglas (precedentes legales que interpretan las situaciones de manera diferente). Su ejemplo canónico que no es de este tipo es la paradoja del mentiroso.

• en cuanto a la conveniencia, no creo que el dialeteísmo se ofrezca como un sistema para fundamentar las contradicciones, sino simplemente para reconocer que son enunciados posibles, por lo que sería bueno poder manipularlos, tratarlos de manera coherente .

• en cuanto a por qué uno querría evitar las lógicas 'explosivas', un ejemplo es, en un sistema de verificación mecánica que necesita lidiar con situaciones no monótonas (los hechos atómicos son proposiciones sobre el mundo real que pueden cambiar (la luz roja un momento luego verde al siguiente)), puede darse el caso de que en una transición de conocer la 'luz roja' a conocer la 'luz verde' ambos estén en el sistema al mismo tiempo, por lo que una lógica clásica podría comenzar a hacer múltiples cálculos aleatorios. inferencias de ese par (de una contradicción se sigue cualquier cosa), es decir, 'explotar' con un montón de proposiciones irrelevantes, antes de que se elimine el hecho de 'luz roja'. Esta es solo una aplicación limitada. (este es también otro caso, no mencionado explícitamente, de un beneficio de una lógica paraconsistente).

Varias respuestas han señalado las razones afirmativas por las que podría valer la pena considerar el dialeteísmo, lo que implica que la principal motivación del dialteísmo radica en la aplicabilidad a ciertas situaciones (ya sean lógicas o materiales) donde la única descripción correcta involucra una dialetheia y que de otra manera es intratable . o tiene que ser esquivado y evitado.

Sin embargo, parece que la principal motivación es de tipo negativo : un (pequeño) número de filósofos y lógicos a lo largo de la historia de la filosofía han encontrado deficiente la defensa original de la Ley de No Contradicción (LNC) de Aristóteles.

Como fue Aristóteles quien introdujo LNC por primera vez, su primer paso es invertir la carga de la prueba ; es una tarea de los defensores de LNC dar una justificación teórica, no de los filósofos no convencidos para justificar su oposición a LNC. La 'oposición' en este paso es simplemente el reconocimiento de que no hay justificación suficiente para sostener que LNC es necesariamente cierto.

Aristóteles en LNC

En pocas palabras, no está claro de qué habla exactamente Aristóteles en Met.III cuando defiende LNC. Mezcla versiones ontológicas , pragmáticas , semánticas y sintácticas de LNC. (Dado que no hay soporte para LateX, solo escribiré las interpretaciones).

1) Ontológico:

 It is not possible that the same object both possesses and lacks the same property.

2) Pragmático:

No (rational) agent can simultaneously accept and reject the same sentence.

3) Semántica:

No sentence is both true and not true.
No sentence is both true and false.
A sentence and its negation cannot both be true.

4) Sintáctico:

¬(a∧¬a)

Aristóteles sostiene en un momento u otro que todas estas versiones son trascendentalmente necesarias y las une como un solo principio. Esta entrada de SEP ofrece una descripción general de cómo Aristóteles trató de unir estas versiones y usarlas como una condición necesaria para su esencialismo ontológico (es decir, su explicación de la esencia a través de la distinción entre propiedades necesarias y accidentales).

Su línea de defensa es el famoso método elenctico . Como el oponente que duda de LNC no está comprometido con la no contradicción, mostrar que el oponente se contradice a sí mismo no es realmente una estrategia viable. En cambio, Aristóteles trata de engañar al oponente al mostrar que acepta al menos una instancia de "x es F y no es al mismo tiempo no F", es decir, el objetivo de Aristóteles es mostrar que el oponente está comprometido al menos con algo que no es contradictorio. Por lo tanto, argumenta contra el trivialismo , no contra el dialeteísmo moderno (que no está comprometido con la opinión de que todas las contradicciones son verdaderas, sino solo algunas ).

¿Crees que todas las versiones anteriores son equivalentes? ¿Que todos pueden ser defendidos de la misma manera? ¿Que una de las versiones está contenida analíticamente en otra versión? Aristóteles lo hizo, y este fue el statu quo, incluidos sus argumentos, hasta principios del siglo XX.

Adiós Aristóteles

No me parece tan difícil imaginar que algunos filósofos, empezando por Jan Łukasiewicz, no se sintieran realmente impresionados por este argumento con premisas pesadas (¡esencialismo aristotélico!) y formulaciones desordenadas. Y, dado que la lógica ya no se veía como leyes del pensamiento, y tampoco como correspondencia con alguna verdad metafísica sobre cómo es el mundo, comenzaron a pensar en cómo lidiar con una posibilidad lógica en la que LNC no necesariamente se sostiene (como Aristóteles pensó que sí). En este punto hay varias posibilidades para formular posiciones más débiles o más fuertes, y para el dialeteísta entran en juego las razones afirmativas anteriores, que lo llevan a tomarse la dialetheia en serio.

Permítanme trazar un paralelismo con el descubrimiento de las geometrías no euclidianas . Durante siglos, los filósofos supusieron que esta era la única geometría posible. Ellos adujeron pruebas trascendentales (Kant trató de mostrar que el espacio euclidiano es la "condición de posibilidad" para concebir el espacio), pruebas físicas (el espacio físico está estructurado de esa manera) y pruebas lógicas de reducción al absurdo (no es necesaria otra geometría consistente). posible). Fue este último objetivo el que llevó a matemáticos como Saccheri a formular, sin proponérselo, geometrías no euclidianas:

La intención del trabajo de Saccheri era ostensiblemente establecer la validez de Euclides por medio de una prueba reductio ad absurdum de cualquier alternativa al postulado paralelo de Euclides. Para hacer esto, asumió que el postulado de las paralelas era falso e intentó derivar una contradicción. Dado que el postulado de Euclides es equivalente a la afirmación de que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°, consideró tanto la hipótesis de que los ángulos suman más o menos 180°.

El primero llevó a la conclusión de que las líneas rectas son finitas, contradiciendo el segundo postulado de Euclides. Entonces Saccheri lo rechazó correctamente. Sin embargo, hoy en día se acepta este principio como base de la geometría elíptica, donde se rechazan tanto el segundo como el quinto postulado.

La segunda posibilidad resultó ser más difícil de refutar. De hecho, no pudo derivar una contradicción lógica y, en cambio, derivó muchos resultados no intuitivos; por ejemplo, que los triángulos tienen un área máxima finita y que existe una unidad absoluta de longitud. Concluyó finalmente que: "la hipótesis del ángulo agudo es absolutamente falsa; porque repugna a la naturaleza de las líneas rectas". Hoy, sus resultados son teoremas de geometría hiperbólica.

... y eso encontró algunas "aplicaciones agradables" (aunque ciertamente se podría argumentar que no hay razones lógicas que obligaron a los físicos a abandonar la geometría euclidiana y podríamos habernos quedado con LET en lugar de SRT).

Si encuentra esta comparación engañosa, puede haber un paralelismo más adecuado con el surgimiento de lógicas multivaluadas al renunciar a la ley de bivalencia .

Lo mismo sucedió con LNC. Se consideró ontológica, pragmática y lógicamente necesaria. Entonces ocurrió, muy tarde, que se podían construir lógicas debilitando o abandonando LNC. A partir de ahí, estas lógicas encontraron algunas aplicaciones interesantes en la vaguedad, la paradoja, etc., una aplicación que, como usted muestra, no todos encuentran lo suficientemente convincente, porque estas aplicaciones no son interpretaciones lógicamente convincentes, y siempre es posible interpretarlas manteniendo LNC. .

El Tao, tiene una línea 'El Camino que puede ser nombrado no es el Camino'. Esto me parece una contradicción. Ya lo hemos nombrado como el 'Camino', pero luego se niega que lo sea. Pero encuentro la afirmación verdadera/significativa.

La paráfrasis más simple que se me ocurre es que la verdad que se puede formalizar no es la verdad. La verdad escapa a nuestra capacidad cada vez mayor de abarcarla. Siempre excede nuestro alcance. Una analogía matemática sería con el Teorema de Godel donde se demuestra que un sistema formal puede expresar verdades que no son demostrablemente verdaderas.

No entiendo por qué se debe pensar que ex contradictione quodlibet es un problema, ya que ninguna contradicción puede ser verdadera. ¿Y qué si todo se deriva de una verdadera contradicción? No hay verdaderas contradicciones. No puede haber ninguno. (Pensar lo contrario traiciona una falta de comprensión de la negación). Por lo tanto, nunca obtendrá una explosión real.

Ex falso quodlibet es más un problema aparente, ya que entonces "Si la luna está hecha de queso verde, entonces los pequeños unicornios morados cabriolan en Marte" se convierte en un verdadero condicional. Uno quiere preguntarse qué podría tener que ver el hecho de que la luna esté hecha de queso verde con los diminutos unicornios morados que hacen cabriolas en Marte. Pero es el condicional el que es verdadero cuando el antecedente es falso; nada dice que uno pueda deducir de alguna manerael consecuente del antecedente. Aún así, si esto le molesta a uno, siempre puede cambiar a un condicional presuposicional, uno que simplemente no tiene valor de verdad cuando su antecedente es falso. De hecho, el problema percibido surge de tratar el condicional material como si fuera presuposicional y pensar: "Caramba, si 'si la luna está hecha de queso verde, entonces los diminutos unicornios morados cabriolan en Marte' es cierto, eso significa que si fuera así". muy cierto que la luna estaba hecha de queso verde, ¡también sería muy cierto que diminutos unicornios morados hacían cabriolas en Marte!" Pero el condicional material veritativo-funcional es diferente del condicional presuposicional. Uno podría pensar que esto es un error al interpretar el condicional ordinario y cotidiano como el condicional material, por supuesto.

He estado tratando de encontrar supuestos ejemplos de verdaderas contradicciones para mostrar que no son realmente ciertas o que no son realmente contradicciones. Si la gente te envía ejemplos, me encantaría saber cuáles son.

En el ejemplo de los sietes consecutivos en la expansión de pi, la palabra "saber" está siendo equívoca. "Sabemos que hay un millón de sietes consecutivos" es defendible como probable que sea cierto, bajo las condiciones dadas, por lo que "saber" solo significa "saber más allá de una duda razonable". "No sabemos que hay un millón de sietes consecutivos" es defendible como falso solo si "saber" significa "saber más allá de cualquier duda".

"El Camino que se puede nombrar no es el Camino" no es una contradicción. No dice "El Camino no es el Camino". Dice algo así como "El-Camino-que-puede-ser-nombrado no es el-Camino-que-tengo-en-mente". El primer referente difiere del último referente.

"Este jugador de baloncesto profesional de seis pies es muy alto" es verdadero si "alto" significa "más alto que cinco pies y diez pulgadas", pero falso si "alto" significa "más alto que seis pies y dos pulgadas". Si es o no una oración verdadera depende de lo que uno quiera decir con sus palabras . Y ese es siempre el caso: una oración no es verdadera o falsa por sí misma, sino que es verdadera o falsa bajo una interpretación . Tratamos de hablar lo suficientemente claro para que todos le demos a las oraciones la misma interpretación, pero a veces no lo hacemos, y luego podemos terminar pensando que no estamos de acuerdo cuando estamos de acuerdo o que estamos de acuerdo cuando no estamos de acuerdo, solo porque estamos interpretando lo mismo. sentencia de diferentes maneras. Siempre debemos estipular un significado fijo y luegoasignar un valor de verdad, si la oración tiene uno bajo esa interpretación fija.

En el ejemplo de Nagarjuna: "Si Nāgārjuna tiene razón en su crítica de la esencia, y si resulta que todas las cosas carecen de naturalezas fundamentales, resulta que todas tienen la misma naturaleza, es decir, la vacuidad, y por lo tanto ambas tienen y carecen de esa misma naturaleza. Esta es una consecuencia directa del carácter puramente negativo de la propiedad de la vacuidad, una propiedad que Nāgārjuna caracteriza completamente por primera vez, y cuya centralidad para la filosofía demuestra por primera vez ". Pero o todas las cosas carecen de naturaleza fundamental y por lo tanto el vacío no es su naturaleza, o todas las cosas tienen la misma naturaleza fundamental de vacío. Si por "vacío" se entiende "la falta de una naturaleza fundamental", entonces es cierto tanto que todas las cosas carecen de naturaleza fundamental como que todas las cosas "tienen vacío", es decir, carecen de naturaleza fundamental. No se trata de una contradicción sino de una tautología. Sólo negando la naturaleza fundamental de todas las cosas y luego tratando el vacío como si fueradonde una naturaleza fundamental surge la aparente contradicción.

Por supuesto, es posible que algunos seres humanos tengan creencias contradictorias , pero eso es muy diferente de que las creencias contradictorias sean simultáneamente verdaderas .

• Física newtoniana/determinismo causal vs física cuántica (indeterminación)
• Comprender las definiciones de las cosas y, sin embargo, no poder describir la esencia de nada verdaderamente objetivamente (similar a la paradoja de Nagarjuna como menciona Michael, pero estaba pensando más desde una perspectiva aristotélica)
• Múltiples teorías sobre el viaje en el tiempo y el espacio-tiempo implican contradicciones, como retroceder en el tiempo y hacer algo que terminaría impidiendo que nacieras, viajar más rápido que la velocidad de la luz (y que tu masa aumente infinitamente), tratar de concebir de un punto inicial o final en el tiempo cuando nuestra misma noción de tiempo presupone que las cosas siempre vinieron antes y siempre pueden venir después, y así sucesivamente.

Similar a lo que escribió Mitch, pero en una línea diferente: no estoy seguro de que alguna vez esté satisfecho con ningún ejemplo que podamos proporcionar, porque si está buscando contradicciones "verdaderas" donde dos afirmaciones/ideas son correctas y se contradicen entre sí (a diferencia de que una declaración sea falsa y que todo no sea una verdadera contradicción en primer lugar): muchas contradicciones que nombramos son contradicciones solo porque las hemos considerado fuera del alcance de la comprensión humana. Es decir, es posible que no sean intrínsecamente contradicciones, pero según nuestra capacidad de observación limitada e intelectos primitivos, parecen estar en conflicto.Yo (y estoy seguro de que otros también pueden) puedo proporcionarle innumerables ejemplos de estos, pero como dije, no estoy seguro de que nosotros (los seres humanos en el planeta Tierra) podamos proporcionarle contradicciones "verdaderas" como usted pide.

Para otra perspectiva sobre lo que podría motivar las cosas aquí, supongamos que tenemos una lógica que tiene todo el continuo de valores de verdad en [0, 1] como su conjunto de verdad. Una afirmación con valor de verdad de 1 califica como verdadera. Entonces, parece razonable inferir que una declaración con un valor de verdad de .999 califica como verdadera. También parece razonable inferir que una declaración con un valor de verdad de .998 califica como verdadera, y pensar que cambiar el valor de verdad de una declaración por .001 no la cambiará de verdadera a falsa. Pero, esto implica inmediatamente contradicciones (afirmaciones con muy bajo valor de verdad) como verdaderas. Ahora bien, podríamos rechazar que cambiar el valor de verdad de un enunciado por .001 (esto podría reducirse, por supuesto) no cambiará un enunciado de verdadero a falso, pero algunos no creen que esto sea racional. Uno podría sentirse tentado a pensar "

Debido a la utilidad demostrada de los sistemas expertos borrosos en ingeniería, y dada una interpretación que acepta cualquier enunciado con valor de verdad en (0, 1) como aceptación de una contradicción, la conveniencia de usar una lógica con contradicciones parece fácil de demostrar.

Además, considere una declaración como "este jugador de baloncesto profesional de 6 pies es muy alto". Ahora, de acuerdo con la perspectiva de la lógica clásica, esta oración se presenta como verdadera o falsa, o no califica como una proposición cuando sabemos a quién se refiere "esto". No es como una declaración contingente "tanto p como q". Simplemente no veo una forma razonable de negar la declaración sobre el jugador de baloncesto como una proposición. Pero, si lo tomamos como verdadero o lo tomamos como falso, entonces de cualquier manera podemos inferir una falsedad, ya que el enunciado también tiene el otro valor de verdad. Entonces, desde la perspectiva de la lógica clásica, termina como una contradicción.

Si acepta el dialeteísmo, debe desarrollar algunos sistemas lógicos nuevos para que funcione. No necesitamos gente corriendo como, “¡La paradoja del mentiroso! ¡Por lo tanto, se deduce que NASCAR es un deporte!” ¿Ves cómo eso podría salirse de control rápidamente? Obviamente, nadie quiere que todas las contradicciones sean verdaderas. Así que tenemos esta imagen hilarante, una niña impetuosa que pisotea con furia y chilla: “¡Las contradicciones NO PUEDEN ser verdad! ¡Simplemente no pueden!” Si eres un Randian, tal vez estés pisoteando aquí e insistiendo en que las contradicciones no pueden ser ciertas, y eso es todo.

Ahora, para repasar, creo que el problema no es tan débil como 'revisamos nuestras teorías', o 'tenemos creencias falsas', o 'cometemos errores'. No, el problema es la afirmación de que algunas contradicciones son realmente ciertas. Y mi ejemplo favorito de la relevancia de esto es la geometría no euclidiana, que hizo que la gente se peleara seriamente por una forma de razonar sobre información inconsistente sin caer en el absurdo. La gente argumentaba que la obsesión matemática con la geometría no euclidiana era una pérdida de tiempo. Hoy diríamos que, por supuesto, la geometría no euclidiana es perfectamente legítima. Pero, el surgimiento de geometrías no euclidianas, en la mente de algunos, fue una guerra contra el reclamo de la geometría euclidiana sobre la forma del espacio.

Sin duda, fue un shock para Frege que afirmara que la geometría euclidiana es verdadera o la geometría no euclidiana es verdadera, pero no ambas. ¡Frege, nada menos! ¡Se comprometió con este punto de vista!

No creo que nadie acepte las verdaderas contradicciones. Sin embargo, tal vez solo sea mi objeción sobre la semántica, porque también diré que las contradicciones aparentemente se 'toleran' a veces siempre que no estropeen otra cosa. De hecho, sucede todo el tiempo, y de nuevo no es noticia en absoluto, en el mundo de los axiomas, definiciones, postulados y pruebas de proposiciones de estas tres cosas.

La ambigüedad causa confusión en la lógica y el problema es más grande de lo que parece. Supongamos que digo 'está lloviendo' y luego digo 'no está lloviendo'. Bueno, me he contradicho y ambas afirmaciones no pueden ser ciertas. Pero luego digo, 'bueno, pero está lloviendo en Los Ángeles, California y no está lloviendo en Phoenix, Arizona, quise decir'. Está bien. Pero no siempre está claro lo que la gente quiere decir. Y hay todo un mundo, en matemáticas, lógica y sistemas formales, de las llamadas nociones primitivas, que son conceptos indefinidos, y en particular, una noción primitiva no se define en términos de conceptos previamente definidos. Solo están motivados de manera informal, generalmente por una apelación a la intuición y la experiencia cotidiana. El concepto de conjunto es un ejemplo de una noción primitiva, en la teoría de conjuntos. En geometría euclidiana, bajo el sistema de axiomas de Hilbert, las nociones primitivas son punto, línea, plano, congruencia, intermediación e incidencia. Así que bien, empleamos las expresiones sin explicar sus significados. Tal vez pienses que te estoy tomando el pelo. Pero es verdad, y en tales casos, habráverdaderas contradicciones, o algo así, debido a la ambigüedad.

Puede ser difícil distinguir entre definiciones y meros intentos de explicación de algo a lo que se le otorga el estatus de un término primitivo e indefinido. De nuevo: en la aritmética de Peano, la función sucesora y el número cero son nociones primitivas. Y este punto sobre las definiciones, requiere que proporcionemos un contexto limitado dentro del cual algo puede ser verdadero, sin ser lógicamente verdadero. Como 'está lloviendo', por ejemplo, pero la mayoría de los juicios verdaderos solo son verdaderos en un contexto determinado, en realidad. Más allá de 'A es A', ni siquiera puedes hacer matemáticas sin... bueno, digámoslo de esta manera, existen formas en las que los sistemas lógicos deben extenderse para permitir la derivación de verdades aritméticas. Para extender un sistema formal de lógica de predicados con nada más que axiomas lógicamente válidos para que capture la aritmética, debemos agregar axiomas que no son lógicamente válidos. Las verdades aritméticas no son lógicamente válidas. Y estos son lugares comunes en metamatemáticas. Nuevamente: que las expresiones aritméticas son satisfactorias en el mejor de los casos, y no lógicamente válidas, es un conocimiento común en metamatemáticas.

Así que este dialeteísmo no es solo de punks y hippies, aunque yo empezaría repasando qué significa ese término que acabo de usar: 'satisfacible'.

Esto es tangencial al objetivo principal de su pregunta. La lógica intuicionista no prescinde de la ley de no contradicción, pero sí niega la ley del tercero excluido. Esto quiere decir que hay más de 2 valores de verdad y estos forman un poset. Ahora, reinterpretemos la ley de no contradicción para que signifique que cada declaración puede tener solo un valor de verdad. Entonces esto es manifiestamente falso, un enunciado puede tener dos valores de verdad donde el segundo es comparable al primero en el conjunto de valores de verdad. Por supuesto, esto significa que un valor de verdad es redundante. Pero creo que este ángulo es bastante interesante, no obstante.

Hay un millón de sietes consecutivos en algún lugar de la expansión decimal de Pi.

Supongamos que podemos probar que los dígitos están distribuidos uniformemente (y cumplen algunas otras condiciones) y también podemos probar que la única forma de saber dónde están es encontrarlos, y no los hemos encontrado. En este caso, "sabemos que hay un millón de sietes consecutivos en la expansión" es defendible como verdadero y "no sabemos que hay un millón de sietes consecutivos en la expansión" también es defendible como verdadero. Y no es por la vaguedad de los términos, es por la vaguedad de la expansión.