Mosaico del cuadrado unitario con triángulos rectángulos

¿Cuál es el número mínimo de triángulos rectos distintos necesarios para teselar un cuadrado unitario? Sospecho que no se puede hacer en menos de cuatro, así que aquí están las soluciones para$4$triángulos hasta ahora:

Definir un cuadrado unitario$ABCD$; entonces las tres construcciones distintas hasta ahora son:

1. Conecte dos esquinas opuestas ($\overline{AC}$), y coloque un quinto punto ($E$) en cualquier lugar de algún lado ($\overline{BC}$) de la plaza. Conecte el quinto punto con el punto restante disponible ($A$) y dibujar una línea perpendicular ($\overline{EF}$) de ella a la línea diagonal. Ahora tienes$4$triángulos distintos que embaldosan el cuadrado.

2. Coloque un quinto punto ($E$) en cualquier lugar de algún lado ($\overline{BC}$) del cuadrado excepto en el punto medio ($P$) de ese lado. Conéctelo con los dos puntos del lado opuesto ($\overline{DA}$) y dibujar una línea perpendicular ($\overline{DF}$o$\overline{AF}$) desde cualquiera de esos dos puntos hasta el segmento de recta opuesto. Ahora tienes$4$triángulos distintos que embaldosan el cuadrado.

3. la construcción de Oscar Lanzi ; De$A$dibujar un segmento de línea a un punto$E$en cualquier lado$\overline{BC}$. Construya la perpendicular a$\overline{AE}$a través de$E$que se cruza con el lado$\overline{CD}$en$F$. Termina la división dibujando$AF$. Ahora tienes$4$triángulos distintos que embaldosan el cuadrado.

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¿Contienen estas construcciones todas las soluciones válidas para teselar el cuadrado unitario con$4$triángulos rectángulos distintos? ¿O faltan otras formas?

El objetivo es encontrar todas las soluciones válidas para este simple problema y demostrar que no existen más.

Pero no estoy seguro de cómo se puede saber si tenemos todas las soluciones contenidas en estas construcciones hasta el momento o no.

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Siguiente pregunta; ¿Es posible que exista una solución entre las soluciones tal que los cuatro triángulos tengan todas las longitudes de los lados racionales?

Desde que me topé con un tweet que mostraba$5$triples pitagóricos empaquetados en un cuadrado; Si ese cuadrado se redujera a una unidad cuadrada, tendríamos una solución con$5$triángulos que tienen todos sus lados racionales.

¿Es posible hacerlo en$4$?

¿Empacar cuatro triángulos distintos racionales en un cuadrado unitario?

Supongo que esto puede mostrarse falso si se encontraron todas las construcciones y se demostró que no contienen tal solución. Hasta ahora, estas tres construcciones parecen no contener tal solución, si no me equivoco.