Momento de inercia, ¿por qué r2r2r^2 y no rrr?

Aquí hay una motivación para donde el tensor de inercia$I=(I_{ij})$(y por extensión momentos de inercia) viene. Es una cantidad que es análoga a la masa para el movimiento de rotación en el sentido de que la energía cinética de un objeto giratorio es esencialmente proporcional al tensor de inercia multiplicado por el cuadrado de la velocidad angular del cuerpo. Más precisamente

$$\begin{align} T(t) = \frac{1}{2} \boldsymbol \omega(t)^tI(t)\boldsymbol \omega(t). \tag{1} \end{align}$$ dónde $\boldsymbol \omega(t)$es la velocidad angular instantánea del cuerpo. Compare esto, por ejemplo, con la expresión de la energía cinética de una partícula de masa $m$moviéndose con velocidad $v$; $$\begin{align} T = \frac{1}{2}mv^2. \end{align}$$

Para probar la expresión$(1)$, comience con un cuerpo rígido que consta de puntos$\mathbf x_i$experimentando una rotación pura. Existe una rotación dependiente del tiempo.$R(t)$que genera el movimiento de todos los puntos del cuerpo rígido;

$$\begin{align} \mathbf x_i(t) = R(t)\mathbf x_i(0) \tag{2} \end{align}$$ La energía cinética del cuerpo es la suma de las energías cinéticas de las partículas individuales; $$\begin{align} T(t) &= \frac{1}{2}\sum_i m_i \dot{\mathbf x}_i(t)\cdot\dot{\mathbf x}_i(t) \\ &= \frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big)\cdot\big(\dot R(t)\mathbf x_i(0)\big) \\ &=\frac{1}{2}\sum_i m_i \big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big)\cdot\big(\dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t)\big) \\ \end{align}$$ donde en la última igualdad usé el hecho de que $R^tR = I$para rotaciones de modo que eq. $(2)$da $\mathbf x_i(0) = R(t)^t \mathbf x_i(t)$. Ahora bien, notamos que $$\begin{align} \dot R(t)R(t)^t\mathbf x_i(t) = \boldsymbol\omega(t)\times\mathbf x_i(t) \end{align}$$ dónde $\boldsymbol\omega$es el vector de velocidad angular del cuerpo. Vea lo siguiente para una derivación detallada de este hecho:

Velocidad angular expresada a través de los ángulos de Euler

Entonces juntando esto, tenemos

$$\begin{align} T(t) &= \frac{1}{2}\sum_im_i\big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big)\cdot \big(\boldsymbol\omega(t)\times \mathbf x_i(t)\big) \\ &= \frac{1}{2}\sum_im_i \sum_{j,k}\omega_j\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\omega_k \\ &= \frac{1}{2} \sum_{j,k}\omega_j\left[\sum_im_i\big(\mathbf x_i^2\delta_{jk} - (x_i)_j(x_i)_k\big)\right]\omega_k \\ \end{align}$$ Ahora bien, si simplemente notamos que el tensor de inercia se define como la cantidad cuyas componentes $I_{jk}$están entre corchetes grandes, entonces tenemos la fórmula deseada.

Tenga en cuenta, en particular, que cuando$j=k$, es decir, cuando consideramos solo las componentes diagonales del tensor de inercia, entonces obtenemos el$j$momento de inercia

$$\begin{align} I_{jj} = \sum_i m_i\big(\mathbf x_i^2 - (x_i)_j^2\big) \end{align}$$ así, por ejemplo, la $x$momento es $$\begin{align} I_{xx} = \sum_i m_i(y_i^2+z_i^2) \end{align}$$ y si el objeto está en el $x$- $y$avión, entonces $z=0$y obtenemos $$\begin{align} I_{xx} = \sum_i m_i y_i^2 \end{align}$$ y si el cuerpo es continuo, entonces las sumas se reemplazan con las integrales apropiadas; $$\begin{align} m_i\to dm, \qquad I_{xx}\to \int y^2 dm \end{align}$$

Creo que estás confundido entre el momento de inercia de la masa y el momento de inercia del área .

El primero es un equivalente de masa en dirección angular y se define como$\int_V{r^2\rho dV}$. Un equivalente angular de$F=ma$es:

$$\tau=I\alpha$$ dónde $\tau$es el par (equivalente angular de la fuerza, con unidades $[Nm]$), $I$es el momento de inercia de la masa (equivalente angular de la masa, con unidades $[kgm^2]$) y $\alpha$es la aceleración angular (equivalente angular de la aceleración lineal, con unidades $[rad/s^2]$).

El segundo es una indicación de qué tan bien una viga puede soportar un par (cuánto se doblará debido a ello). Hay muchas ecuaciones que pueden relacionarse con esto y dependen de cómo se restringe una viga (en voladizo) . Pero esto tiene la definición de$\int_A{rdA}$y tiene la unidad$[m^4]$.

Editar: después de ver un comentario, está claro que te refieres al segundo. Y trataré de explicarlo un poco mejor. Considere una sección de una viga en la que se aplica un momento de flexión constante :

Esta sección se comprimirá en un extremo y se estirará en el otro extremo y en algún lugar en el medio (dependiendo de la forma de la sección) no habrá tensiones ni deformaciones. En forma de ecuación se ve así:

$$\sigma(y)=\frac{My}{I},$$ dónde $\sigma$es la tensión sobre la viga a una distancia $y$desde el eje neutro de las vigas, $M$es el momento flector aplicado.

Una forma de derivar esto es que la integral de las tensiones multiplicada por un área de sección transversal pequeña multiplicada por la distancia desde el eje neutral debe dar el momento de flexión:

$$M=\int_A{\sigma(y)ydA}$$ Al sustituir la ecuación por $\sigma$en esta integral y dividir ambos lados por $\frac{M}{I}$usted obtiene: $$I=\int_A{y^2dA}$$

No estoy seguro si esto lo hace más claro, ya que esto podría parecer un razonamiento circular, ya que asumo una cierta ecuación para$\sigma$. Pero espero que pueda ver que las tensiones serán proporcionales al momento de flexión al asumir deformaciones pequeñas y elásticas ($\sigma\propto M$). Y que las tensiones también serán lineales dependerán de la distancia al eje neutro, ya que$\sigma dA=dF$y$Fr=M$, asi que$\sigma rdA=dM$.

El momento de inercia se relaciona con la resistencia a la aceleración de rotación, que implica movimiento. Con respecto a una influencia rotacional que se tuerce en el eje, el radio afecta la cantidad de esta resistencia de dos maneras separadas (aunque entrelazadas). En primer lugar, si el radio se duplica, la ventaja mecánica del brazo de palanca (radio) se reduce por un factor de dos, se requerirá el doble de par en el eje para producir la misma fuerza en el extremo del brazo de palanca. En segundo lugar, al duplicar el radio se duplica la longitud del barrido del arco cuando se produce el movimiento. Para cualquier rotación arbitraria en el eje, duplicar el radio duplicará la distancia a lo largo del arco barrido por el extremo del brazo de palanca (radio), lo que requiere que la punta del brazo de palanca se desplace al doble de la velocidad.

Entonces, un radio aumentado participa en resistir la aceleración de rotación de dos maneras, lo que explica la aparición de la$r^2$en lugar de simplemente$r$.

Dicho de otra manera, cuando duplica el radio, para cualquier giro dado aplicado en el eje, está tratando de acelerar la masa el doble de rápido con solo la mitad de palanca.

El momento angular de una sola partícula con masa$m$en movimiento alrededor de un eje, con velocidad angular$\omega$, una distancia$r$del eje, es$L = r (m v) = m r^2 \omega$.

Cuando consideramos un cuerpo extenso, la suma de la contribución ($m r^2$) de cada partícula en movimiento dentro del cuerpo, y este es el momento de inercia.

Más generalmente,

$$\begin{align} \mathbf{L} &= \sum_p m_p \mathbf{r}_p \times \mathbf{v}_p\\ & = \sum_p m_p \mathbf{r}_i \times (\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}_i)\\ & = \sum_p m_p \left( \boldsymbol{\omega} \, (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p) - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\ & = \sum_p m_p \left( (\mathbf{r}_p \cdot \mathbf{r}_p)\boldsymbol{\omega} - \mathbf{r}_p (\mathbf{r}_p \cdot \boldsymbol{\omega})\right)\\ L_j &= \sum_p m_p \sum_k \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right) \omega_k \\ &= \sum_k I_{jk} \omega_k \\ \end{align}$$

El término$\sum_p m_p \left( r_p^2 \delta_{jk} - (r_p)_j (r_p)_k \right)$es el momento de inercia tensor$I_{jk}$

Tenga en cuenta que$I_{xx} = \sum_p m_p (r^2 - x^2) = \sum_p m_p (y^2 + z^2)$. En 2 dimensiones, simplemente ignoras el$z^2$parte, así que esto dice que$I_{xx} = \sum_p m_p y^2$. Para un cuerpo continuo de densidad uniforme, obtendríamos$I_{xx} = \rho \int\!dA\, y^2$.

Ahora suponga que este cuerpo está girando sobre el eje z (aunque en su caso es de 2 dimensiones, y$z=0$, ponemos el eje az para dar algo para rotar; Realmente estamos rotando en el plano xy.) Entonces el vector de velocidad angular es$\boldsymbol{\omega} = \omega \,\hat{\mathbf{z}}$. escribiríamos

$$\begin{align} L_z &= L_3\\ & = \sum_k I_{3k} \omega_k\\ & = I_{33} \omega\\ & = \rho \int\!dA\, (x^2 + y^2) \omega\\ \end{align}$$

Las otras respuestas aquí son geniales, pero si no funcionan para usted, aquí hay otra cosa que podría considerar...

En una dimensión, encontramos el centro de masa con un promedio sobre las masas

$$\bar x=\frac {\sum m_i x_i}{\sum m_i}$$ Encontramos el giro-radio (todavía una dimensión) con la raíz cuadrada media sobre las masas $$x_{gyro}=\sqrt{\frac {\sum m_i x_i^2}{\sum m_i}}$$ El cuadrado medio de la raíz nos dice qué tan extendido está algo. Y cuanto más dispersa está la masa, más difícil es "acelerar", hacer girar y una vez que está girando, más difícil es detenerse. El giro-radio nos da la distancia desde el centro a la que toda la masa podría reubicarse y tener la misma inercia rotacional.

Entonces necesitamos el cuadrado en la integral, ya que esto nos da qué tan dispersa está la masa en lugar de la primera potencia que nos da el centro de masa.