No creo que funcione de esa manera por desgracia.

Permítanme proponer un enfoque más general:$\hat{x}$,$\hat{y}$,$\hat{z}$sean los ejes normales al anillo (dos diámetros y normal respectivamente), ahora vamos$\hat{x}'$,$\hat{y}'$,$\hat{z}'$ser los ejes rotados. queremos calcular$I_{z'}$. Ahora escriba la matriz de cambio de coordenadas, que es simplemente una rotación alrededor de la$\hat{y}$eje:

$$\Lambda = \left[ \begin{matrix} \cos\theta && 0 && -\sin\theta \\ 0 && 1 && 0 \\ \sin\theta && 0 && \cos\theta \end{matrix} \right]$$

Esta matriz es tal que$\vec{x}' = \Lambda \vec{x}$

Ahora podemos construir fácilmente el tensor de inercia en las coordenadas normales porque es diagonal:

$$I = \left[ \begin{matrix} \frac{1}{2}MR^2 && 0 && 0 \\ 0 && \frac{1}{2}MR^2 && 0 \\ 0 && 0 && MR^2 \end{matrix} \right]$$

Ahora bien, como I es un tensor, se transforma en tensor, por lo que en las nuevas coordenadas (las "primas") viene dado por$I'_{ij} = \Lambda_{ik}\Lambda_{jl} I_{kl} \rightarrow I' = \Lambda I \Lambda^T$. Un cálculo simple muestra:

$$I' = \left[ \begin{matrix} MR^2(\frac{\cos^2{\theta}}{2}+\sin^2{\theta}) && 0 && \frac{MR^2}{2}\cos{\theta}\sin{\theta} \\ 0 && \frac{MR^2}{2} && 0 \\ \frac{MR^2}{2}\cos{\theta}\sin{\theta} && 0 && MR^2(\frac{\sin^2{\theta}}{2}+\cos^2{\theta}) \end{matrix} \right]$$

Así que como puedes ver, cuando$\theta=\pi/4$tienes$I_{x'x'} = I_{z'z'} = \frac{3}{4}MR^2$.

Regla simple La traza del tensor de inercia es invariante bajo cambio de coordenadas. En coordenadas normales es$2MR^2$(solo la suma de los tres componentes de la diagonal). En nuestras coordenadas rotadas, desde cuando$\theta = \pi/4$las simetrías sugieren$I_{x'x'}=I_{z'z'}$y$I_{y'y'}=I_{yy}=MR^2/2$(el$y$El eje es el eje de rotación y, por lo tanto, no cambia), puede imponer la invariancia de la traza y obtener el resultado.