Ejes principales de inercia de un péndulo compuesto

Question

Ejes principales de inercia de un péndulo compuesto

Física
momento angular
momento de inercia
dinámica de cuerpo rígido
deberes-y-ejercicios

Sørën

Estoy confundido acerca de los ejes principales de inercia.

Considere el péndulo compuesto en la imagen, hecho de una placa rectangular. oscila alrededor de un eje horizontal $\hat{a}$ que pasa a través $A$ . El centro de masa está en $C$ .

En mi libro se afirma que, dado que $\hat{a}$ es paralelo a $\hat{c}$ (el eje que pasa por el cm), que es un eje principal de inercia (es un eje de simetría), $\hat{a}$ es también un eje principal de inercia. De ahí el momento angular del péndulo compuesto, $\vec{L}$ es totalmente paralelo al eje de rotación $\hat{a}$ .

no entiendo esto: $A$ no es un eje de simetría, pero es un eje principal de inercia, sólo porque es paralelo a otro? ¿Como puede ser?

Respuestas (1)

Ejes principales de inercia de un péndulo compuesto

Jannick · Answer 1

La respuesta es el teorema de los ejes paralelos . Establece que el tensor de inercia $I_{ij}$ se transformará bajo una traducción con vector $\vec{a}$ como

I = I^{(cm)} + metro (\begin{matrix} a_{2}^{2} + a_{3}^{2} & - a_{1} a_{2} & - a_{1} a_{3} \\ - a_{1} a_{2} & a_{1}^{2} + a_{3}^{2} & - a_{2} a_{3} \\ - a_{1} a_{3} & - a_{2} a_{3} & a_{1}^{2} + a_{2}^{2} \end{matrix})

$I = I^{(\text{cm})} + m \begin{pmatrix} a_2^2 + a_3^2 & - a_1a_2 & -a_1a_3 \\ -a_1a_2 & a_1^2+a_3^2 & -a_2a_3 \\ -a_1a_3 & -a_2a_3 & a_1^2+a_2^2\end{pmatrix}\\$ dónde

I

$I$ es el nuevo tensor de inercia y

I^{(cm)}

$I^{(\text{cm})}$ es el tensor de inercia con centro de origen de masa. Ahora supongamos que estamos en el marco de referencia, donde

I^{(cm)}

$I^{(\text{cm})}$ es diagonal. Entonces una traslación a lo largo de uno de los ejes principales, es decir

\vec{a} = a {\vec{e}}_{i}

$\vec{a} = a\; \vec{e}_i$ conservará la diagonal porque todos los términos de mezcla

a_{i} a_{j}

$a_i a_j$ con

i \neq j

$i\neq j$ desaparecerá en la matriz de transformación.

¡Gracias por la respuesta! ¿Es esto cierto para cualquier traducción a lo largo de un eje principal? En esta publicación mía physics.stackexchange.com/questions/246615/… Pregunté sobre una barra con el eje de rotación que no pasa por el CM pero sigue siendo paralelo a un eje principal. Sin embargo en ese caso el eje de rotación no es un eje principal, ¿cómo puede ser eso?
Creo que tu error ahi fue que no tomaste en cuenta que $\vec{\omega} = \frac{\vec{r}\times\vec{v}}{r^2}$ no es invariante bajo traducción. Así que movió el punto de pivote para calcular $\vec{L}$ pero usó otro punto para calcular $\vec{\omega}$

Ejes principales de inercia de un péndulo compuesto

Sørën

Respuestas (1)

Jannick

Sørën

Jannick

Momento angular instantáneo de un disco

Cilindro hueco vs Cilindro sólido [cerrado]

Aclaración sobre los ejes principales en el movimiento de un cuerpo rígido

Momento angular con cambio de momento de inercia

¿Una varilla giratoria tiene energía cinética de traslación y rotación?

¿Se puede encontrar de esta manera el momento angular de cualquier cuerpo rígido (simétrico o asimétrico)?

Teorema de los ejes paralelos y teorema de Koenig para el momento angular

¿Puede explicar intuitivamente el período de tiempo de oscilación decreciente con el aumento de la longitud del péndulo en algunos casos?

¿Cuál es la relación entre la rapidez y la velocidad angular y el radio en el problema dado?

¿Por qué siempre se usa el marco del centro de masa en la dinámica de cuerpo rígido?