Confusión del momento angular de la esfera rodante

Question

Confusión del momento angular de la esfera rodante

Física
momento angular
momento de inercia
dinámica de cuerpo rígido
dinámica-rotacional
cinemática-rotacional

Nakshatra Gangopadhay

Estaba leyendo sobre el momento angular de los cuerpos rígidos y me encontré con el siguiente problema.

Imagina una esfera sólida que rueda hacia abajo sobre un plano inclinado sin deslizarse, y yo estaba tratando de encontrar el momento angular de este cuerpo.

Encontré la siguiente fórmula: $L = I\omega + mvr = \frac{7}{5}mvr$

Es obvio que el primer término es el momento angular, debido al giro del cuerpo sobre su eje central. Sin embargo, ¿de dónde viene el segundo término? Parece similar al momento angular orbital de una partícula puntual sobre algún baricentro. Sin embargo, la esfera aquí no solo es una partícula puntual, sino que tampoco está en ninguna órbita. El movimiento consiste en rodar sobre su eje y el movimiento lineal de su centro de masa. Sin embargo, el centro de masa no gira alrededor de ningún punto, entonces, ¿por qué el $mvr$ componente procedente de.

Además, $r$ se refiere al radio de la esfera. Por eso, $mvr$ debe ser el momento de inercia de una partícula puntual de masa $m$ orbitando el centro de la esfera mientras rueda hacia abajo. Si ese es el caso, ¿no nos hemos ocupado ya de eso en $I\omega$ ?

¿Por qué estamos considerando la rotación de toda la esfera alrededor de su eje y la rotación de un punto de masa? $m$ sobre el centro de la esfera por separado, y luego sumando sobre ellos?

Cualquier explicación intuitiva de lo que hace exactamente $mvr$ representar sería muy apreciado.

Hice la derivación del momento angular y aparecieron los dos términos. Sin embargo, ¿el momento angular no está siempre relacionado con la rotación? El término $mvr$ se escribe como momento angular de traslación. Sin embargo, este nombre me parece un poco contradictorio. ¿Cómo se puede relacionar la traslación pura con la rotación, a menos que afirmemos que la rotación siempre está relacionada con el momento angular, pero el momento angular no siempre significa rotación como en este caso? ¿Es válida esta afirmación? Si no, ¿puede alguien explicarme la intuición física o ayudarme a visualizar la idea del momento angular de traslación?

cita con la libertad

Consulte Kleppner y Kolenkow: Introducción a la mecánica. Es mucho mejor que tener crisis existenciales cada dos semanas preguntándose cómo llegaron todas las fórmulas a la mecánica.

evan

Preguntar "¿cuál es el momento angular del cuerpo?" no tiene ningún sentido Debe preguntar "¿Cuál es el momento angular del cuerpo sobre el punto X?" Recuerde que el momento angular es solo el momento del momento lineal de todos los puntos materiales en el cuerpo sumados. Este momento de momento lineal es sobre algún punto, quizás el CG, quizás un punto fijo, quizás un punto de aceleración. Considere una caja que se desliza sobre una mesa en pura traslación. ¿Sabías que esta caja tiene un momento angular con respecto a un punto en la superficie de la mesa? No tiene momento angular sobre su CG.

Respuestas (3)

Confusión del momento angular de la esfera rodante

Consulte Kleppner y Kolenkow: Introducción a la mecánica. Es mucho mejor que tener crisis existenciales cada dos semanas preguntándose cómo llegaron todas las fórmulas a la mecánica.
Preguntar "¿cuál es el momento angular del cuerpo?" no tiene ningún sentido Debe preguntar "¿Cuál es el momento angular del cuerpo sobre el punto X?" Recuerde que el momento angular es solo el momento del momento lineal de todos los puntos materiales en el cuerpo sumados. Este momento de momento lineal es sobre algún punto, quizás el CG, quizás un punto fijo, quizás un punto de aceleración. Considere una caja que se desliza sobre una mesa en pura traslación. ¿Sabías que esta caja tiene un momento angular con respecto a un punto en la superficie de la mesa? No tiene momento angular sobre su CG.

Vicente Thacker · Answer 1

La fórmula que mencionas es para el movimiento general de un objeto que gira y se traslada. Dejar $\mathbf{r}$ ser la posición de un punto en el objeto y $\mathbf{r}_{\text{CM}}$ Sea la posición del centro de masa del objeto. Definimos el vector

r^{'} \equiv r - r_{CM}

$\mathbf{r}' \equiv \mathbf{r} - \mathbf{r}_{\text{CM}}$ que representa la posición de un punto con respecto al centro de masa. El momento angular

L

$\mathbf{L}$ puede ser encontrado por

L = \int r \times d pag = \int r \times \dot{r} d metro = \int (r_{CM} + r^{'}) \times ({\dot{r}}_{CM} + {\dot{r}}^{'}) d metro = \int r_{CM} \times {\dot{r}}_{CM} d metro + \int r^{'} \times {\dot{r}}^{'} d metro + \int r_{CM} \times {\dot{r}}^{'} d metro + \int r^{'} \times {\dot{r}}_{CM} d metro

$\mathbf{L} = \int \mathbf{r} \times \text{d}\mathbf{p} = \int \mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} \text{d}m = \int \left(\mathbf{r}_{\text{CM}}+\mathbf{r}'\right) \times \left(\dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}}+\dot{\mathbf{r}}'\right) \text{d}m \\ = \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} \text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m + \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}}\text{d}m$

Los dos últimos términos desaparecen por la definición del centro de masa. $\int \mathbf{r}' \text{d}m = 0$ , entonces tenemos

L = \int r_{CM} \times {\dot{r}}_{CM} d metro + \int r^{'} \times {\dot{r}}^{'} d metro = metro r_{CM} \times {\dot{r}}_{CM} + \int r^{'} \times (ω \times r^{'}) d metro = r_{CM} \times {pag}_{CM} + I ω

$\mathbf{L} = \int \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} \text{d}m + \int \mathbf{r}' \times \dot{\mathbf{r}}'\text{d}m \\ = m\mathbf{r}_{\text{CM}} \times \dot{\mathbf{r}}_{\text{CM}} + \int \mathbf{r}' \times \left(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}'\right)\text{d}m \\ = \mathbf{r}_{\text{CM}} \times \mathbf{p}_{\text{CM}}+ I\boldsymbol{\omega}$

El primer término es el $mvr$ que mencionas, que comúnmente se llama el momento angular "orbital". El segundo término representa la rotación (giro) del cuerpo.

El punto es que el primer término solo tiene sentido cuando consideras un origen. En este caso, el origen puede tomarse como cualquier punto fijo en la superficie. El centro de masa se mueve entonces en línea recta sobre la superficie y paralelo a ella. Puedes comprobar eso $\mathbf{r}_{\text{CM}} \times \mathbf{p}_{\text{CM}}$ es constante

El cuerpo no tiene que orbitar realmente el origen. Siempre que la posición y la velocidad del centro de masa no sean paralelas, el primer término será distinto de cero. Solo será cero si el cuerpo se dirige directamente hacia o desde el origen. En otras palabras, se puede pensar en cuánto el cuerpo "pasa" o "pierde" el origen.

mmm como esta $\int r' \times( \omega \times r') dm = I \omega$ ? El I en el sentido de OP, donde la inercia es un escalar, solo se puede encontrar si $\omega \perp r'$
@Buraian $I$ se supone que es el tensor de inercia. Pero aquí en 2D es un escalar (y también lo es $\omega$ ).

mis2cts · Answer 2

La confusión surge porque la $r$ en $I\omega=\frac{2}{5}mvr$ es la distancia al centro de la esfera rodante. El $r$ en el segundo termino $mvr$ es la distancia a algún origen fijo sobre el cual se define el momento angular total.

Gandalf73 · Answer 3

El momento angular lineal se define como

\vec{L} = metro (\vec{v} \times \vec{r}) = metro v r_{⊥}

$\vec{L}=m(\vec{v}\times\vec{r})=mvr_{\perp}$ Ahora el

r_{⊥}

$r_{\perp}$ no cambia a medida que el cuerpo se mueve, sí, el ángulo cambia, pero también lo hace el radio desde el origen, por lo que se compensan entre sí manteniendo constante el radio perpendicular, y en el caso de una esfera, este radio es el radio de la esfera proporcionado mantenga su origen en la base de la superficie.

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