Momento angular con respecto al centro de masa.

Question

Momento angular con respecto al centro de masa.

Física
Dinámica-rotacional
Mecánica-newtoniana
Dinámica-de-cuerpo-rígido

Trabajador autodidacta

Me han dicho [ Advertencia : dejo esto porque es lo que pedí y permite entender los diálogos en los comentarios, pero Azad, a quien agradezco, ha señalado que la fórmula no se cumple en general en la forma en que se expresa] que El momento angular y el cuerpo rígido con respecto a cualquier punto $P$ $P$ $PAG$ siempre se puede expresar como

L_{PAG} = r_{C metro} \times METRO v_{C metro} + (\sum_{yo} {metro}_{yo} R_{yo}^{2}) ω

dónde

r_{c m}

r_{c m}

r_{c m}

r_{c m}

r_{C metro}

es la posición del centro de masa con respecto a

P

P

PAG

,

M

M

METRO

la masa del cuerpo

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{yo}

la distancia de la

i

i

yo

-ésimo punto, teniendo masa

m_{i}

m_{i}

m_{i}

m_{i}

{metro}_{yo}

, componiendo el cuerpo, y

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2} = I

\sum_{yo} {metro}_{yo} R_{yo}^{2} = yo

su momento de inercia con respecto al eje instantáneo de la rotación alrededor del centro de masa de velocidad angular

ω

ω

ω

.

Yo se que la velocidad $v_{i}$ $v_{i}$ $v_{i}$ $v_{i}$ $v_{yo}$ de cada punto $P_{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ $P_{i}$ ${PAG}_{yo}$ teniendo masa $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ ${metro}_{yo}$ , de un cuerpo rígido de masa $M$ $M$ $METRO$ puede verse como la suma de una velocidad de traslación de uno de sus puntos $C$ $C$ $C$ más una velocidad de rotación alrededor de ese punto: $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{i} = v_{C} + ω \times \vec{C P_{i}}$ $v_{yo} = v_{C} + ω \times \vec{C {PAG}_{yo}}$ . Si elegimos $C$ $C$ $C$ como el centro de masa veo que

L_{C metro} = \sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} v_{yo} = \sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} v_{C metro} + \sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} (ω \times \vec{C {PAG}_{yo}})

= \sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} (ω \times \vec{C {PAG}_{yo}})

porque si no me equivoco

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} v_{C} = (\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}) \times v_{C} = 0

\sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} v_{C} = (\sum_{yo} {metro}_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}}) \times v_{C} = 0 0

ya que

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{i} m_{i} \vec{C P_{i}}

\sum_{yo} {metro}_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}}

es la posición del centro de masa con respecto a sí mismo, que es

0

0

0 0

.

¿Cómo se puede probar que $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{i} \vec{C P_{i}} \times m_{i} (ω \times \vec{C P_{i}}) = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $\sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} (ω \times \vec{C {PAG}_{yo}}) = (\sum_{yo} {metro}_{yo} R_{yo}^{2}) ω$ ? He buscado mucho en Internet y en libros, pero no encuentro nada. Para dar algunos antecedentes míos, no he estudiado nada de mecánica analítica. La fórmula me parece muy, muy interesante tanto en sí misma como porque, si el momento de inercia no depende del tiempo, $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t I (t) = I (t_{0})$ $\forall t yo (t) = yo (t_{0 0})$ , la expresión anterior se puede diferenciar para obtener la fórmula del par resultante con respecto al centro de masa $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{c m} = \frac{d L_{c m}}{d t} = I α_{c m}$ $\sum τ_{C metro} = \frac{re L_{C metro}}{re t} = yo α_{C metro}$ dónde $α$ $α$ $α$ es la aceleración angular alrededor del centro de masa. Muchas gracias por cualquier respuesta!

Algunas pruebas infructuosas: al usar la "identidad BAC CAB" como lo sugirió Azad, a quien agradezco sinceramente, $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ $a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$ $una \times (si \times C) = (una \cdot C) si - (una \cdot si) C$ , Puedo ver eso

\sum_{yo} \vec{C {PAG}_{yo}} \times {metro}_{yo} (ω \times \vec{C {PAG}_{yo}}) = \sum_{yo} {metro}_{yo} ‖ \vec{C {PAG}_{yo}} ‖^{2} ω - {metro}_{yo} (\vec{C {PAG}_{yo}} \cdot ω) \vec{C {PAG}_{yo}}

que, al descomponer cada

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C P_{i}}

\vec{C {PAG}_{yo}}

en un componente axial

A_{i}

A_{i}

A_{i}

A_{i}

{UNA}_{yo}

y un componente radial

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{yo}

, cuyas normas respectivamente son

A_{i}

A_{i}

A_{i}

A_{i}

{UNA}_{yo}

y

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{yo}

, con

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{i}

R_{yo}

como la distancia de

i

i

yo

al eje de rotación, se convierte

\sum_{yo} {metro}_{yo} R_{yo}^{2} ω + \sum_{yo} {metro}_{yo} {UNA}_{yo}^{2} ω - {metro}_{yo} ({UNA}_{yo} \cdot ω) \vec{C {PAG}_{yo}}

pero no puedo probar eso

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{i} m_{i} A_{i}^{2} ω - m_{i} (A_{i} \cdot ω) \vec{C P_{i}} = 0

\sum_{yo} {metro}_{yo} {UNA}_{yo}^{2} ω - {metro}_{yo} ({UNA}_{yo} \cdot ω) \vec{C {PAG}_{yo}} = 0 0

.

John Rennie

¿No es esto solo una consecuencia del teorema del eje paralelo? Las pruebas del teorema deberían ser fáciles para Google.

Azad

Su primera ecuación describe el momento angular total alrededor del origen y usted está a solo un BAC CAB lejos de la prueba

Curioso

No estoy seguro de que llamaría a esto una prueba en ningún sentido de la palabra. El cálculo simplemente conduce a la derivación de

I

I

yo

, es decir, es la definición de momentos de inercia más que cualquier otra cosa.

Curioso

Considero que es un mal hábito introducir cosas en la física que uno "sabe a priori" solo para tener la sensación de "probar algo". Su conocimiento a priori es una derivación trivial de la misma expresión que está utilizando en su "prueba". La forma mucho mejor es tratar todo como una derivación. Funciona igual de bien y no choca con la definición de ciencia, que no es lo mismo que la definición de matemáticas.

Azad

Le recomiendo que lea el primer capítulo de Mecánica clásica de Goldstein. Tiene una buena y breve encuesta de estas cosas.

Respuestas (2)

Momento angular con respecto al centro de masa.

¿No es esto solo una consecuencia del teorema del eje paralelo? Las pruebas del teorema deberían ser fáciles para Google.
Su primera ecuación describe el momento angular total alrededor del origen y usted está a solo un BAC CAB lejos de la prueba
No estoy seguro de que llamaría a esto una prueba en ningún sentido de la palabra. El cálculo simplemente conduce a la derivación de $I$ $I$ $yo$ , es decir, es la definición de momentos de inercia más que cualquier otra cosa.
Considero que es un mal hábito introducir cosas en la física que uno "sabe a priori" solo para tener la sensación de "probar algo". Su conocimiento a priori es una derivación trivial de la misma expresión que está utilizando en su "prueba". La forma mucho mejor es tratar todo como una derivación. Funciona igual de bien y no choca con la definición de ciencia, que no es lo mismo que la definición de matemáticas.
Le recomiendo que lea el primer capítulo de Mecánica clásica de Goldstein. Tiene una buena y breve encuesta de estas cosas.

ja72 · Answer 1

Creo que estás complicando demasiado esto. Considere un punto arbitrario P que se mueve con velocidad lineal $v_{A}$ $v_{A}$ $v_{A}$ $v_{A}$ $v_{UNA}$ .

El impulso lineal es $PAG = metro v_{C metro}$
El momento angular en el centro de masa es $L_{C metro} = {yo}_{C metro} ω$
La velocidad lineal del centro de masa es $v_{C metro} = v_{UNA} + ω \times r_{C metro}$ dónde $r_{c m}$ $r_{c m}$ $r_{c m}$ $r_{c m}$ $r_{C metro}$ es la ubicación del centro de masa en relación con A.
El momento lineal en términos del movimiento de A es $PAG = metro (v_{UNA} + ω \times r_{C metro})$ $PAG = metro v_{UNA} - metro r_{C metro} \times ω$
El momento angular en A es $L_{UNA} = L_{C metro} + r_{C metro} \times PAG$ que se expande como $L_{UNA} = {yo}_{C metro} ω + r_{C metro} \times metro v_{C metro} = {yo}_{C metro} ω + r_{C metro} \times metro (v_{UNA} + ω \times r_{C metro})$

L_{UNA} = {yo}_{C metro} ω - metro r_{C metro} \times r_{C metro} \times ω + metro v_{UNA}

El momento espacial combinado en A produce la matriz de inercia espacial 6 × 6 en A

{\hat{ℓ}}_{UNA} = {yo}_{UNA} {\hat{v}}_{UNA}

{\begin{matrix} PAG \\ L_{UNA} \end{matrix}} = [\begin{matrix} metro & - metro [r_{C metro} \times] \\ metro [r_{C metro} \times] & {yo}_{C metro} - metro [r_{C metro} \times] [r_{C metro} \times] \end{matrix}] {\begin{matrix} v_{UNA} \\ ω \end{matrix}}

_{NOTA: para los extraños} _{$[r \times]$} _{$[r \times]$} $[r \times]$ _{Notación que parece faltar un vector. ¿Qué es el Vector / Producto Cruzado?}

El momento de inercia de masa en A se define así como ${yo}_{UNA} = {yo}_{C metro} - metro [r_{C metro} \times] [r_{C metro} \times]$ Esta es una representación vectorial del teorema del eje paralelo .
Finalmente, necesita diferenciar las expresiones de impulso para llegar a las 6 ecuaciones de movimiento de Newton-Euler (consulte https://physics.stackexchange.com/a/80449/392 )

$I_{c m}$ $I_{c m}$ $I_{c m}$ $I_{c m}$ ${yo}_{C metro}$ es el momento de masa del tensor de inercia. Se define como ${yo}_{C metro} = (\begin{matrix} {yo}_{X X} & {yo}_{X y} & {yo}_{X z} \\ {yo}_{X y} & {yo}_{y y} & {yo}_{y z} \\ {yo}_{X z} & {yo}_{y z} & {yo}_{z z} \end{matrix})$ (Ver farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/Newtonhtml/node64.html ). Contiene los componentes de la inercia para cada eje en diagonal y los términos cruzados en la diagonal desactivada. A medida que el cuerpo gira (con una matriz de rotación 3 × 3 $E$ $E$ $mi$ ) los componentes de $I_{c m}$ $I_{c m}$ $I_{c m}$ $I_{c m}$ ${yo}_{C metro}$ cambio también. Esto se hace con ${yo}_{C metro} = mi {yo}_{si o re y} {mi}^{⊤}$ .
Muy, muy interesante ¡No puedo esperar para estudiarlo! ¡De nuevo, muchas gracias!

luffy_csm · Answer 2

Si nos fijamos en $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C P_{i} X m_{i} (ω \times C P_{i})$ $C {PAG}_{yo} X {metro}_{yo} (ω \times C {PAG}_{yo})$ podemos decir que el producto cruzado en el paréntesis da el componente del vector $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C {PAG}_{yo}$ a lo largo de la dirección de $ω$ $ω$ $ω$ . Llamemos a ese componente $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{yo}$ . ( nota : $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{yo}$ es la distancia perpendicular entre la partícula en el sistema de partículas en el que estamos interesados y el eje de rotación del sistema de partículas)

Ahora tenemos:

$C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C P_{i} \times m_{i} R_{i} ω$ $C {PAG}_{yo} \times {metro}_{yo} R_{yo} ω$ = $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ $m_{i} R_{i}^{2} ω$ ${metro}_{yo} R_{yo}^{2} ω$

(Estamos tomando el producto cruzado de $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C {PAG}_{yo}$ con $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{yo}$ que está en la dirección perpendicular a ambos $ω$ $ω$ $ω$ y $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C P_{i}$ $C {PAG}_{yo}$ que nuevamente nos dará $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{i}$ $R_{yo}$ . )

Así tenemos:

$L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{c m} = (\sum_{i} m_{i} R_{i}^{2}) ω$ $L_{C metro} = (\sum_{yo} {metro}_{yo} R_{yo}^{2}) ω$

Oh! lo siento. Mi error. He hecho la corrección en la respuesta.
Su pregunta me hizo pensar en la definición básica de la dirección de $ω$ $ω$ $ω$ . Siempre se define con respecto a los vectores de posición. $r$ $r$ $r$ y $r + Δ r$ $r + Δ r$ $r + Δ r$ dónde: $Δ r = r ‖ Δ θ ‖ \hat{θ}$ $Δ r = r ‖ Δ θ ‖ \hat{θ}$ $Δ r = r ‖ Δ θ ‖ \hat{θ}$ $Δ r = r ‖ Δ θ ‖ \hat{θ}$ $Δ r = r ‖ Δ θ ‖ \hat{θ}$ , $θ$ $θ$ $θ$ siendo el ángulo atravesado por el vector $r$ $r$ $r$ a tiempo $Δ t$ $Δ t$ $Δ t$ y $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ siendo la dirección tangente a la trayectoria de movimiento de la partícula (que es circular). Estoy realmente agradecido con usted @ Self-teachingDavide por hacer esta pregunta que condujo a la definición fundamental de dirección de $ω$ $ω$ $ω$ .
Volviendo a la pregunta, se puede ver que para tomar el producto cruzado $ω \times r$ $ω \times r$ $ω \times r$ , la dirección de $ω$ $ω$ $ω$ no se puede tomar como $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ . Para obtener la dirección de la velocidad angular, uno debe conocer el camino de la partícula, obtener el vector unitario de la tangente ( $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ $\hat{θ}$ ) a $r$ $r$ $r$ y encuentra el producto cruzado: $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ $\hat{r} \times \hat{θ}$ . Por favor, corríjame si estoy equivocado.
Las matemáticas son bastante difíciles y no he visto tal prueba presentada en ningún lado. Todos mis cursos universitarios trataron problemas 2D donde $r$ $r$ $r$ siempre estaba en el plano XY y por lo tanto $ω$ $ω$ $ω$ siempre estuvo en el $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ $\hat{k}$ dirección. Además, la mayoría de los libros presentan la prueba solo para cuerpos rígidos planos y mencionan que lo mismo es aplicable a todos los cuerpos rígidos.
Lamento haber puesto tantos comentarios. Consulte este enlace para obtener una descripción completa de la velocidad angular a través de los ángulos de Euler: physics.stackexchange.com/questions/73961/…

Momento angular con respecto al centro de masa.

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