Centro de problema de rotación instantánea

Question

Centro de problema de rotación instantánea

Física
Dinámica-rotacional
Mecánica-newtoniana
Dinámica-de-cuerpo-rígido

usuario118899

¿Existe un punto de Centro de Rotación Instantánea ( CIR ) para cada tipo de movimiento o solo para casos de balanceo?

Carl Witthoft

¿Qué piensas y por qué?

ja72

Publicación relacionada: physics.stackexchange.com/a/88597/392

ja72

En el plano hay un punto y en 3D hay un eje de tornillo (ver la respuesta a continuación). El punto en 2D es donde el eje del tornillo 3D se cruza con el plano de movimiento. Puede acceder a todas las relaciones planas desde proyectar el problema 3D hasta un plano.

Respuestas (4)

Centro de problema de rotación instantánea

Publicación relacionada: physics.stackexchange.com/a/88597/392
En el plano hay un punto y en 3D hay un eje de tornillo (ver la respuesta a continuación). El punto en 2D es donde el eje del tornillo 3D se cruza con el plano de movimiento. Puede acceder a todas las relaciones planas desde proyectar el problema 3D hasta un plano.

ja72 · Answer 1

Para un cuerpo rígido 3D siempre hay un eje de tornillo instantáneo. Esto consiste en una línea 3D (con dirección) y un tono. El tono describe la cantidad de traslación paralela que se produce para cada rotación del cuerpo rígido. Una rotación pura tiene un tono cero, mientras que una traducción pura tiene un tono infinito. (3D Kinematics Ref. Html , ppt de presentación de la Universidad de Pennsylvania, wiki de The Screw Theory)

Propiedades del tornillo

Dado un cuerpo rígido en movimiento, un punto A ubicado en ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{A}$ ${\vec{r}}_{UN}$ en algún instante tiene un vector de velocidad lineal en el mismo punto ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{A}$ ${\vec{v}}_{UN}$ y velocidad angular $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ .
El eje de movimiento del tornillo tiene dirección $\vec{mi} = \frac{\vec{ω}}{El | \vec{ω} El |}$
La ubicación del eje de movimiento del tornillo más cercana a A es ${\vec{r}}_{S} = {\vec{r}}_{UN} + \frac{\vec{ω} \times {\vec{v}}_{UN}}{El | \vec{ω} {El |}^{2}}$
El paso de movimiento del tornillo es $h = \frac{\vec{ω} \cdot {\vec{v}}_{UN}}{El | \vec{ω} {El |}^{2}}$

dónde $\times$ $\times$ $\times$ es el producto cruzado, y $\cdot$ $\cdot$ $\cdot$ es el producto punto (escalar).

Prueba

Punto de imagen S que tiene una velocidad lineal ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ ${\vec{v}}_{S}$ no necesariamente paralelo al eje de rotación $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ . Trabajando hacia atrás (de S a A ), la velocidad lineal de cualquier punto A en el cuerpo rígido es

{\vec{v}}_{UN} = {\vec{v}}_{S} + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{UN} - {\vec{r}}_{S})

Esto se usa en la ecuación de posición del eje del tornillo $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $| \vec{ω} |^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{A}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{A}$ $El | \vec{ω} {El |}^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{UN}$ (desde arriba) como

El | \vec{ω} {El |}^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{S} - \vec{ω} \times \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN})

que se expande usando el producto triple vectorial como

El | \vec{ω} {El |}^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN}) = \vec{ω} \times {\vec{v}}_{S} - \vec{ω} (\vec{ω} \cdot ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN})) + El | \vec{ω} {El |}^{2} ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN})

\vec{ω} \times {\vec{v}}_{S} = \vec{ω} (\vec{ω} \cdot ({\vec{r}}_{S} - {\vec{r}}_{UN})) = 0 0

ya que el lado derecho siempre es paralelo a $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ y el lado izquierdo siempre es perpendicular a $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ $\vec{ω}$ . La única solución a lo anterior es que la velocidad en el eje del tornillo S sea paralela a la rotación

{\vec{v}}_{S} = h \vec{ω}

y la velocidad en A se convierte

{\vec{v}}_{UN} = h \vec{ω} + \vec{ω} \times ({\vec{r}}_{UN} - {\vec{r}}_{S})

Respuesta relacionada: physics.stackexchange.com/a/86020/392

Mike Dunlavey · Answer 2

Supongo que estás hablando de un cuerpo rígido en movimiento en un avión.

Considere dos puntos diferentes en el cuerpo, A y B. En cualquier momento, cada uno tiene un vector de velocidad $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{UN}}$ y $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{si}}$ (suponiendo que ninguno sea, en sí mismo, el centro).

Considere la línea normal a $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{UN}}$ , llámalo $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ ${norte}_{UN}$ , y de la misma manera $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ ${norte}_{si}$ .

Donde estas dos líneas se cruzan es el centro instantáneo. Si las dos líneas son paralelas, el movimiento es pura traducción.

Si quieres extenderlo a 3 dimensiones, $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ $n_{A}$ ${norte}_{UN}$ y $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ $n_{B}$ ${norte}_{si}$ son aviones normales a $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{A}}$ $\vec{v_{UN}}$ y $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{B}}$ $\vec{v_{si}}$ . Donde se cruzan es una línea, un "eje" si lo desea.

Estaba confundido con por qué en caso de movimiento de rodadura se introdujo el "eje instantáneo de rotación" (IAR). ¿Por qué no podríamos usar el eje a través del centro de masa? Busqué (1) qué es IAR en realidad, (2) siempre debe ser cero (en el caso del movimiento de rodadura en una superficie), y (3) puede existir otro eje en lugar del punto de contacto entre la superficie y el objeto para el que las respuestas eran matemáticas, por lo que no pude obtener eso. ¿Podías ayudarme con esto? No publiqué la pregunta por separado porque probablemente se cerraría como duplicado.
Bueno, sé lo que es IAR y, según su respuesta, se puede responder la tercera pregunta; para un objeto que rueda sobre una superficie, es el único eje instantáneo de rotación, y creo que en cada instante está en reposo. Estoy en lo cierto?
@suiz: No estoy seguro de haber entendido sus preguntas, pero el ejemplo más simple es una rueda que gira en una carretera. Suponga que toma una fotografía con una exposición muy corta pero no instantánea. En ese corto tiempo de exposición, se verá que cada punto de la rueda está trazando una trayectoria circular alrededor del punto de contacto rodante. A veces, estas cosas son difíciles de entender si aún no has aprendido el cálculo, porque en el cálculo manejas cantidades infinitesimales, cantidades que son lo más pequeñas posible sin ser cero.

Valter Moretti · Answer 3

Los ejes de rotación instantánea aparecen solo estudiando el movimiento de cuerpos sólidos rígidos .

Considere un cuerpo sólido rígido $B$ $B$ $si$ moviéndose en los tres espacios. Para estudiar su movimiento, arregle un punto $O \in B$ $O \in B$ $O \in si$ y un triple de ejes ortonormales $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ $k_{1}$ , $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ $k_{2}$ , $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ $k_{3}$ en reposo con $B$ $B$ $si$ centrado en $O$ $O$ $O$ .

Ahora podemos describir el movimiento de $B$ $B$ $si$ con respecto a un triple de ejes ortonormal fijo $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ $e_{1}$ ${mi}_{1}$ , $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ $e_{2}$ ${mi}_{2}$ , $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ $e_{3}$ ${mi}_{3}$ .

Si $P \in B$ $P \in B$ $P \in B$ $P \in B$ $PAGS \in si$ es una partícula de materia de $B$ $B$ $si$ determinado por $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $x_{P} = \sum_{i = 1}^{3} x_{P i} k_{i}$ $X_{PAGS} = \sum_{yo = 1}^{3} X_{PAGS yo} k_{yo}$ , y estos componentes no cambian a tiempo solo porque $B$ $B$ $si$ es un cuerpo rígido, su posición $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{P} (t)$ $y_{PAGS} (t)$ en el espacio viene dado por: $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{P} (t) = y_{O} (t) + x_{P}$ $y_{PAGS} (t) = y_{O} (t) + X_{PAGS}$ es decir, en componentes:

y_{PAGS yo} (t) = y_{O yo} (t) + \sum_{j = 1}^{norte} R_{yo j} (t) X_{PAGS j} (1)

dónde

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{i = 1}^{3} R_{i j} (t) e_{i}

k_{j} (t) = \sum_{yo = 1}^{3} R_{yo j} (t) {mi}_{yo}

y

R (t) \in O (3)

R (t) \in O (3)

R (t) \in O (3)

Es una rotación dada.

Ahora considere el $t$ $t$ $t$ derivativo para $t = 0$ $t = 0$ $t = 0 0$ , cuando $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv e_{i}$ $k \equiv {mi}_{yo}$ , de (1). Podemos arreglar arbitrariamente el instante $t = 0$ $t = 0$ $t = 0 0$ cambiando el origen del tiempo para que este valor no juegue ningún papel fundamental y podamos redefinir el triple de $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{i}$ $e_{i}$ ${mi}_{yo}$ para que $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0) \equiv e_{i}$ $k (0 0) \equiv {mi}_{yo}$ es válido para $i = 1, 2, 3$ $i = 1, 2, 3$ $yo = 1, 2, 3$ .

\frac{re y_{PAGS yo}}{re t} {El |}_{t = 0 0} = \frac{re y_{O yo}}{re t} {El |}_{t = 0 0} + \sum_{j = 1}^{norte} \frac{re R_{yo j}}{re t} {El |}_{t = 0 0} X_{PAGS j} (2) .

Esta identidad puede usarse para estudiar la primera aproximación del movimiento del cuerpo. $B$ $B$ $si$ en un barrio de $t = 0$ $t = 0$ $t = 0 0$ :

y_{PAGS yo} (t) = y_{PAGS yo} (0 0) + \frac{re y_{PAGS yo}}{re t} {El |}_{t = 0 0} t + O (t^{2})

para que, explotando (2):

y_{PAGS yo} (t) = y_{PAGS yo} (0 0) + \frac{re y_{O yo}}{re t} {El |}_{t = 0 0} t + \sum_{j = 1}^{norte} \frac{re R_{yo j}}{re t} {El |}_{t = 0 0} X_{PAGS j} t + O (t^{2}) (3) .

Usando la estructura de grupo de Lie $O (3)$ $O (3)$ $O (3)$ (o también mediante inspección directa), es posible demostrar que, como $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R (0 0) = yo$ , existe un vector $ω (0)$ $ω (0)$ $ω (0 0)$ tal que ( $^{*}$ $^{*}$ $^{*}$ $^{*}$ ):

\frac{re R}{re t} {El |}_{t = 0 0} = ω (0 0) \times (4 4) .

Finalmente evaluando (1) para

t = 0

t = 0

t = 0 0

encontramos

y_{PAGS} (0 0) = y_{O} (0 0) + X_{PAGS} (0 0) (5 5)

donde todos los vectores se descomponen indistintamente sobre la base de la

e_{i}

e_{i}

e_{i}

e_{i}

{mi}_{yo}

so la de

k_{i}

k_{i}

k_{i}

k_{i}

k_{yo}

s, solo porque coinciden para

t = 0

t = 0

t = 0 0

. Al insertar (4) y (5) en (3), finalmente logramos:

y_{PAGS} (t) = y_{PAGS} (0 0) + v_{O} (0 0) t + ω (0 0) \times y_{pags} (0 0) t + O (t^{2}) (6 6)

donde obviamente $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) := \sum_{i} \frac{d y_{O i}}{d t} |_{t = 0} e_{i}$ $v_{O} (t) : = \sum_{yo} \frac{re y_{O yo}}{re t} {El |}_{t = 0 0} {mi}_{yo}$ .

Por un instante genérico $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0 0}$ definiendo $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0}$ $Δ t = t - t_{0 0}$ de manera similar obtendríamos:

y_{PAGS} (t) = y_{PAGS} (t_{0 0}) + v_{O} (t_{0 0}) Δ t + ω (t_{0 0}) \times (y_{PAGS} (t_{0 0}) - y_{O} (0 0)) Δ t + O (Δ t^{2}) (7 7)

La ecuación (7) dice que, en la vecindad de cada instante ( $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0}$ $t = t_{0 0}$ en nuestro caso), el movimiento de $B$ $B$ $si$ es la superposición de una traducción espacial a lo largo $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0 0})$ y una rotación alrededor del vector unitario paralelo a $ω (t)$ $ω (t)$ $ω (t)$ pasando por el centro instantáneo $O (t)$ $O (t)$ $O (t)$ . El eje es el eje de rotación instantánea por definición.

Usar (7) que es válido para cada elección de $O$ $O$ $O$ , si el movimiento no es de pura traducción, siempre podemos cambiar $O$ $O$ $O$ para que en el momento interesante $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0}) \times ω (t_{0}) = 0$ $v_{O} (t_{0 0}) \times ω (t_{0 0}) = 0 0$ así que eso $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0})$ $v_{O} (t_{0 0})$ y $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0 0})$ son paralelos Tenga en cuenta que el nuevo $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0 0})$ , en general, no es una cuestión de $B$ $B$ $si$ pero un punto geométrico en el espacio. En este caso (7) se reduce a un movimiento rotacional puro alrededor $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0 0})$ más una traslación a lo largo del eje de rotación (en una vecindad del instante de tiempo considerado). Este punto $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0 0})$ es un centro de rotación instantánea . En realidad, hay un eje completo con la misma propiedad: ese paso para el encontrado $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0})$ $O (t_{0 0})$ dirigido a lo largo $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0})$ $ω (t_{0 0})$ .

Notas al pie.

$(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ $(^{*})$ Como $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ y $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R (0 0) = yo$ , luego $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $re R / / re t {El |}_{t = 0 0}$ es un elemento del álgebra de mentiras de $O (3)$ $O (3)$ $O (3)$ . El álgebra de mentiras de $O (3)$ $O (3)$ $O (3)$ está hecho de todo antisimétrico real $3 \times 3$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ matrices Si $A$ $A$ $UN$ es tal matriz, inmediatamente surge que hay un vector $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{UN}$ tal que $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $A u = ω_{A} \times u$ $UN tu = ω_{UN} \times tu$ para todos los vectores $u$ $u$ $tu$ .

Usted mencionó el uso de la estructura de grupo Lie $O (3)$ $O (3)$ $O (3)$ ¿Podrías seguir explicando ese punto sutil? Porque esa declaración fue realmente el quid de tu prueba.
El álgebra de mentiras de $O (n)$ $O (n)$ $O (norte)$ está hecho de todo antisimétrico $n \times n$ $n \times n$ $norte \times norte$ matrices (esto se puede probar fácilmente). por $n = 3$ $n = 3$ $norte = 3$ una matriz antisimétrica $A$ $A$ $UN$ siempre es de la forma $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{A} \times$ $ω_{UN} \times$ para algún vector $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{A}$ $ω_{UN}$ .
Como $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ $t \mapsto R (t) \in O (3)$ y $R (0) = I$ $R (0) = I$ $R (0 0) = yo$ , $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $d R / d t |_{t = 0}$ $re R / / re t {El |}_{t = 0 0}$ es un elemento del álgebra de mentiras de $O (3)$ $O (3)$ $O (3)$ .

Sandesh Kalantre · Answer 4

El hecho que usted está diciendo es bastante general e incluso se extiende en una forma relacionada a 3 dimensiones también.

Se conoce como el teorema de rotación de Chasles: cualquier desplazamiento general de un cuerpo rígido puede representarse mediante una traslación más una rotación.

En el caso del movimiento de un cuerpo en un plano, el eje se cruza con el plano dado en un punto que podemos llamar el centro de rotación instantáneo. Incluso en el caso de que si no se cruza, decimos que el centro de rotación está en el infinito .

Entonces, sí, cualquier movimiento de un cuerpo en un plano tiene un eje instantáneo de rotación.

En realidad, el nombre es el teorema de Chasles: en.wikipedia.org/wiki/Chasles%27_theorem

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