Modelo de Ising para tontos

El modelo de Ising es un modelo desarrollado originalmente para describir el ferromagnetismo, pero posteriormente se extendió a más problemas.

Básicamente, es un modelo de interacción para giros. Imagina que tienes un sistema que es una colección de$N$giros. cada giro$S_i$tiene dos estados posibles$+1$o$-1$. Aquí puedes imaginar ya una posible extensión a más estados. También puedes imaginar una interpretación diferente a los giros:$-1$es una caja que no contiene partículas de gas,$+1$es una caja que contiene una partícula de gas.

Pero me estoy adelantando. Sigamos con los giros por ahora.

El siguiente paso es definir la energía del sistema.

El primer término puede interpretarse como la contribución a la energía de la interacción de un espín con un campo magnético local. Si el campo magnético es el mismo para todos los espines, entonces$h_i=h$para todos$i$. Ves que alinearse con el campo significa una energía más baja que ir contra el campo.

El segundo término representa interacciones entre espines dentro del sistema. Si$J_{ij}>0$los giros que se alinean contribuirán negativamente a la energía del sistema, reduciendo así la energía total. Si$J_{ij}<0$entonces el anti-alineamiento contribuirá.

Lo que todavía no he especificado es cómo se estructuran los giros. Eligiendo los coeficientes$J_{ij}$apropiadamente, puedo presentar esta estructura. Supongamos que quiero un sistema unidimensional, que es el que Ising resolvió originalmente. Entonces, tienes una infinidad contable de giros dispuestos a lo largo de la línea real con el mismo espacio. Ising impuso una interacción solo a lo largo de giros vecinos. Así que gira$S_n$puede interactuar con el giro$S_{n-1}$y girar$S_{n+1}$. La fórmula de energía que di arriba se convierte en:

si todos los giros pueden interactuar con la misma fuerza.

Ahora bien, a cada configuración del sistema le corresponde una determinada energía. En mecánica estadística, sabemos que la probabilidad de una cierta configuración es

dónde$T$es la temperatura O, si calculamos la suma de la partición

podemos deducir las propiedades termodinámicas de equilibrio completo del sistema. En particular, podemos ver si hay transiciones de fase para ciertos valores de los parámetros. (No hay ninguno en el caso 1D, que en ese momento, combinado con la falta de atención que estaba recibiendo su modelo, hizo que Ising abandonara la física).

Por supuesto, hay muchas más generalizaciones de este modelo. También puede hacer versiones dinámicas del modelo en las que no solo esté interesado en las configuraciones de equilibrio.

Aquí está la página de wikipedia para los modelos Ising . Algunas referencias:

• HE Stanley 'Introducción a las transiciones de fase y los fenómenos críticos' Clarendon Press Oxford

• JM Yeomans 'Mecánica estadística de las transiciones de fase' Clarendon Press Oxford

• RJ Baxter 'Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística' Academic New York

Probablemente el mejor libro en el campo de los modelos de espín es el libro clásico de Baxter "Modelos resueltos exactamente en mecánica estadística" , está muy bien escrito y contiene tanto los conceptos básicos como algunos temas más avanzados.