Ecuación de crecimiento exponencial y bacterias.

Teniendo en cuenta su suposición:

Solo estoy viendo la parte exponencial, donde funciona la ecuación exponencial simple. Si asumimos que hay suficientes nutrientes para que las bacterias crezcan sin control durante varias horas (más o menos cierto en un cultivo real)

En su modelo original, está utilizando estados discretos y pasos de tiempo fijo. Entonces, si 30 min es un paso de tiempo, luego de n pasos tienes$2^n$o$4^{(n/2)}$células. Básicamente estás contando pasos dobles, lo cual está bien. Para una aproximación continua, debe estimar la tasa de esta manera.

Tienes la ecuación de crecimiento de primer orden:

Cuando integres esta ecuación (integral definida) obtendrás:

Dónde$N_f$es el número final de celdas,$N_i$es el número inicial de celdas y$\tau$es el intervalo de tiempo.

Cuando el número de celdas se duplica, entonces$\dfrac{N_f}{N_i}=2$y$\tau=30\ \text{min}$(Doblando tiempo).

Entonces su constante de velocidad sería:$\dfrac{ln(2)}{30}\approx0.023\text{ min}^{-1}$

Después de 16 horas (16×30min) tu número de celdas sería:$e^{0.023\times16\times60}\approx 4.27\times10^9$(aproximadamente 4 mil millones).

Entonces, ¿qué es básicamente lo que está mal? No has reescalado tu tarifa. Como el exponente es$e$y lo sabes$a^x=e^{x.ln(a)}$, todo lo que necesita hacer es escalar la constante de velocidad con$ln(a)$(a=2). Además, en un modelo continuo, no tiene pasos de tiempo fijos. Entonces escalas la constante con el tiempo de duplicación también.

La población real de bacterias probablemente alcanzará cierta capacidad de carga que les impedirá crecer exponencialmente. Como consecuencia, el modelo exponencial será una buena opción solo para el crecimiento temprano, pero después de un tiempo, será necesario usar algún otro modelo (típicamente un modelo logístico).

modelo logístico

Aquí presento rápidamente un modelo estándar de crecimiento logístico para tiempo continuo (y no discreto).

, dónde$K$es la capacidad de carga. Del modelo anterior, se puede ver que cuando$N(t)$es bajo en comparación con$K$, entonces la ecuación diferencial está bien aproximada por el modelo exponencial que describiste$\frac{dN}{dt} \approx r N(t)$. Ajuste$\frac{dN}{dt}=0$muestra que se alcanza un equilibrio cuando$N(t)=0$(equilibrio inestable) o$N(t)=K$(equilibrio estable).

El modelo equivalente en generación discreta puede dar lugar a todo tipo de comportamiento cuando$r$alcanza valores suficientemente altos incluyendo la variación cíclica y el caos.

Modelos más avanzados

Hay otros modelos más realistas. Por ejemplo, las poblaciones reales de bacterias también podrían consumir sus recursos a un ritmo mayor que el ritmo al que se producen los recursos y el tamaño de la población decaería hasta llegar finalmente a la extinción.

Aquí encontrará la descripción de un modelo de crecimiento de la población que incluye poblaciones de depredación.

Construya su propio modelo de crecimiento de la población

Estos modelos no son tan difíciles de construir para adaptarse a sus necesidades. Los primeros capítulos de A Biologist's Guide to Mathematical Modeling in Ecology and Evolution (por Otto y Day) lo ayudarán a construir y analizar sus propios modelos de biología de poblaciones si está interesado.

La cantidad$r$debe ser una frecuencia, medida en horas$^{-1}$. Por lo tanto, no se puede medir en bacterias/hora/célula. Si el número de bacterias se multiplica por 4 cada hora, esto significa que$\exp r= 4,$o$r= \ln 4$, o 1, 39 por hora.