Modelado de la difracción de campos eléctricos arbitrarios mediante rejillas de difracción

Tiene razón en que muchos tratamientos del problema ignoran la variación del campo del haz a lo largo de la rejilla y simplemente asumen que es una onda plana con una fase plana. Sin embargo, esto es relativamente fácil de arreglar: si comienza con algún campo (de valor complejo)$E(x)$incidiendo en una rejilla de difracción$G(x)$, entonces la amplitud de campo lejano será la transformada de Fourier del campo eléctrico justo después de la rejilla, es decir$G(x)$. La herramienta clave para calcular esto es el teorema de convolución , que dice

$$\mathscr F[E(x)\cdot G(x)] = \mathscr F[E(x)] \ast \mathscr F[G(x)],$$ es decir, la transformada de Fourier del producto del campo y la rejilla viene dada por la convolución entre la transformada de Fourier de la rejilla (es decir, la acción habitual de la rejilla con un campo incidente de onda plana) y la transformada de Fourier del campo cercano (es decir, el campo lejano si no hubiera rejilla presente).

Una vez que tenga ese término de búsqueda, hay muchas referencias interesantes que incluyen la variación del campo en la rejilla.

La fórmula de difracción de Kirchoff para una fuente extendida en el régimen de Fraunhofer (es decir, número de Fresnel $F=a^{2}/(\lambda z)\ll 1$) Se ve como esto:

$$U(p)\propto \int_{S}a_{0}(x,y,z=0)e^{ik\left[lx + my\right]}dxdy\hspace{1cm}(1)$$

$U(p)$es el campo visto en el punto$p$en la pantalla después del campo inicial$a_{0}(x,y,z=0)$se difracta de un objeto en$z=0$.$l$y$m$son cosenos directores en$x$y$y$, respectivamente.$a(x,y,z=0)$viene dada por la función de transferencia del objeto difractante$G(x,y)$ multiplicado por el campo luminoso $E(x,y,z=0)$. Usando esto, vemos que:

$$\hspace{1cm}U(p)\propto \int_{S}E(x,y,z=0)G(x,y)e^{ik\left[lx + my\right]}dxdy\hspace{1cm}(2)$$

así que ahora ves que el patrón de difracción depende de las propiedades del campo de iluminación. Usando su notación y la ecuación 2, se puede modelar un patrón de difracción de Fraunhofer usando:

$$\hspace{1cm}U(k_{x}, k_{y}, z) = \mathscr{F}\left[ E(x,y,z=0)\times G(x,y) \right]\hspace{1cm}(3)$$

Esto dará el patrón de difracción en el espacio de fase, como mencionas. Para transformar de espacio de fase a$x$y$y$en la pantalla, puede usar:

$$\hspace{1cm}P_{\text{screen}} = \frac{\lambda}{\sin\left( \arctan(NP_{\text{object}}/z) \right)}\hspace{1cm}(4)$$

$P_{\text{screen}}$es el tamaño de píxel proyectado en la pantalla,$N$es el número de píxeles tanto para la pantalla como para los planos del objeto, y$P_{\text{object}}$es el tamaño de píxel en el plano del objeto.

Para mostrar que funciona, aquí hay algunos patrones de difracción de una sola rendija calculados. Todos usan un ancho de hendidura$\delta=250$ $\mu$m y suponga un haz gaussiano con un foco en la rendija como el campo de iluminación (tamaño del punto focal$w_{0}$). La distancia entre el objeto y la pantalla era de 1 m. Estos parámetros dan números de Fresnel de 0,0078 y 0,0039, lo que confirma la difracción de Fraunhofer. Las imágenes superior y central utilizan$\lambda=500$nm, pero diferentes tamaños de puntos focales, y la imagen inferior utiliza$\lambda=1$ $\mu$m con el mismo tamaño de punto utilizado para la imagen superior. El mapa de colores es log.$_{10}$escamoso.

La propagación del haz gaussiano tiene un claro efecto sobre el patrón de difracción en la pantalla. Para un patrón de difracción de una sola rendija, la fórmula analítica para la posición del primer mínimo de difracción sobre el pico central es:

$$x = \frac{\pm 1\lambda z}{\delta}\hspace{1cm}(5)$$

y esto da la$m=\pm 1$mínimos de aproximadamente 2 mm para la luz de 500 nm y de aproximadamente 4 mm para la de 1$\mu$m luz, muy cerca de los mínimos calculados arriba.

Elegí un patrón de difracción de una sola rendija y una propagación de haz gaussiano aquí porque son relativamente simples y hay fórmulas analíticas disponibles para probar el modelo. Sin embargo, puede elegir máscaras de fase y amplitud arbitrarias para la difracción, así como cualquier definición de campo que desee y aún debería funcionar bien mientras esté en el régimen de Fraunhofer ($F\ll 1$).