¿Mi energía potencial total?

La energía potencial en un campo gravitatorio uniforme es metro gramo ⋅ Δ h . Esto supone, por supuesto, que gramo no cambia y solo da la diferencia en energía potencial para Δ h .

¿Cómo puedo calcular mi energía potencial total , digamos en relación con el centro de masa de la Tierra? En otras palabras, ¿existe alguna expresión para ∫ 0 h metro gramo h , dónde h es un marcador de posición para cada valor de altura y gramo es un marcador de posición para la aceleración gravitacional local para h ?

Correcto, y para diferentes alturas también. Por ejemplo, mi energía potencial total en relación con el centro de masa de la Tierra.
De hecho, suponemos gramo como una constante porque a pequeñas distancias de la tierra, su atracción no cambia tanto. De lo contrario, para obtener la energía potencial debemos usar la relación principal, GRAMO metro 1 metro mi / r 2 y luego integrarlo. O V = − GRAMO metro 1 metro mi / r dónde metro mi es la masa de la tierra.
Según esa expresión, como r se hace más grande, V se vuelve más pequeño Mmm…?
Es mejor interpretarlo de esta manera: metro gramo Δ h da la diferencia de potenciales; por otro lado Δ V = GRAMO metro 1 metro mi ( 1 r i − 1 r F ) dónde r i y r F son los puntos inicial y final. Ahora aumentando Δ h es equivalente a aumentar r F o disminuyendo 1 r F que a su vez es equivalente a aumentar Δ V . Tenga en cuenta que en metro gramo Δ h , el origen del potencial está en la tierra, pero en la otra fórmula, el origen está ubicado en el infinito.
Sin embargo, eso no responde a mi objeción.
V tiende a cero como r se hace más grande, pero ¿qué tiene de malo?
Mi energía potencial no puede disminuir con una altura creciente, ¿verdad?
Es posible que te falte el signo menos al frente. Como r se hace más grande, también lo hace V . Simplemente se hace más grande al acercarse a cero.
Lo siento, estoy corregido. Sin embargo, el signo menos, para mí, da más preguntas de las que responde. La energía de un objeto no puede ser negativa, a menos que estemos hablando de energía negativa "almacenada" en campos gravitatorios y espaciales.

Respuestas (2)

Puede ayudar: supongamos que estamos cerca de la tierra y en altura h . Entonces

Δ V = GRAMO metro 1 metro mi ( 1 R − 1 R + h )
dónde R es el radio de la tierra y h ≪ R . Ahora aproximamos esta relación y resulta que

Δ V = GRAMO metro 1 metro mi ( 1 R − 1 R + h R 2 )

Llamando gramo = GRAMO metro mi R 2 , encontramos Δ V = metro 1 gramo h . Incluso si no aproximamos, es obvio a partir de la primera ecuación que al aumentar h , Δ V incrementará.

No funciona para negativo. h .

Si estimamos que la forma de la Tierra es una esfera perfecta (que no lo es, pero como primera aproximación lo hará), entonces puede aplicar el teorema de la capa . Establece que el campo gravitacional de un cuerpo esféricamente simétrico parece como si estuviera concentrado en el centro de masa del cuerpo. Saber cuánto pesa la Tierra ( 5.97219 × 10 24 k gramo ), puede calcular el potencial gravitatorio a partir de la ley de la gravedad de Newton . Su distancia desde el punto de masa es, por supuesto, el radio de la Tierra ( 6 , 371 k metro ) más su distancia desde la superficie, que es arbitraria. Esto será

V ( X ) = − GRAMO METRO X
dónde GRAMO es la constante gravitacional, METRO es la masa de la Tierra y X es su distancia desde su centro de masa.

Espera… tan creciente X <i>disminuye</i> mi energía potencial total ( V ( X ) )? ¿Cómo tiene sentido eso?
@MaddeAnerson Depende de cómo defina la energía potencial. En este caso, he definido la energía potencial como "el trabajo realizado por el campo gravitatorio al traer una unidad de masa desde el infinito hasta ese punto". (Usando la definición de Wiki). De esta manera, el infinito tiene cero energía potencial.
No estoy seguro de su definición, pero mi definición sería "el trabajo realizado por la gravedad al sacar una unidad de masa de h (o r , dependiendo de cómo quieras llamar la altura desde el centro de masa del cuerpo más grande, por ejemplo, la Tierra) hasta el punto donde h = 0 . Aquí estoy reduciendo todo a masas puntuales, por supuesto.
@MaddeAnerson La principal diferencia entre su definición y la mía es que hemos postulado que diferentes superficies isopotenciales tienen potencial cero. Su superficie de potencial cero (por lo tanto, punto de referencia si lo desea debido a la simetría esférica del campo gravitatorio) es la superficie de la Tierra (aproximada como una esfera). Mi superficie isopotencial (por lo tanto, punto de referencia) es una esfera con centro en la Tierra y radio infinito. Pero de cualquier manera, no puede calcular algo como energía potencial total, ya que la energía siempre está indeterminada hasta una constante aditiva arbitraria.
@MaddeAnerson Es por eso que siempre tiene que especificar una superficie isopotencial (o, si proyecta este problema esféricamente simétrico en 1D, un solo punto) que define como de potencial cero, y solo puede calcular la diferencia potencial entre otros isopotenciales superficies y la superficie de potencial cero. Sin embargo, su definición y la mía producirán los mismos resultados si calculara la diferencia de potencial entre dos puntos del espacio.
@MaddeAnerson Puedo agregar que esta diferencia potencial entre dos puntos arbitrarios del espacio 3D será metro gramo h pero aquí h no es la distancia de los puntos, sino la distancia de las esferas (isopot. superficies con centro en el de la Tierra) sobre las que se encuentran. Tomando el caso especial cuando estos dos puntos arbitrarios están en la misma línea que el centro de gravedad, y digamos que uno de ellos está en la superficie de la Tierra, obtienes la fórmula metro gramo h como la diferencia de potencial entre ellos y aquí h es la distancia desde la superficie de la Tierra (altura).
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