Convenciones de signos de energía potencial

Creo que se te olvidó que el$\int_A^B F\,dl$no es una expresión escalar. Más bien debe escribirse en una forma$\int_A^B \vec{F}\cdot d\vec{l}$. Luego se trata del signo del producto escalar:

$W_{A \to B}=\int_{r_A}^{r_B} F(r) dr = \int_{r_A}^{r_B} \left(-\frac{GMm}{r^2} \right)dr$

el camino podría ir con cualquier pendiente, pero la gravedad siempre está dirigida hacia abajo, a lo largo de la$r$eje. Eso significa que siempre podemos tomar$(\pi-\theta)$como el ángulo entre el vector$d\vec{l}$y el$r$eje, es decir

Para tu segundo ejemplo:

...también deberíamos cambiar el signo, porque la fuerza gravitacional siempre es una fuerza de atracción .

lo que los autores realmente quieren decir es que: las fuerzas de Coulomb y Newton tienen exactamente las mismas expresiones, pero las convenciones de signos para ellas son diferentes. La fuerza de Newton se define que si todas las cantidades ($M$,$m$y$r$) son positivos , entonces el vector de la fuerza se dirige hacia el otro cuerpo . Pero para la fuerza de Coulomb, si todas las cantidades ($q_1$,$q_2$y$r$) son positivas , entonces el vector de la fuerza se aleja de la otra carga . Eso se pone de manifiesto si tomamos las expresiones vectoriales para estas fuerzas:

"...desde el punto$A$apuntar$B$..." - ...según lo entiendo - el trabajo que debo hacer es siempre$U_B-U_A$. Sin embargo, el trabajo que hace la fuerza que está siendo creada por el campo siempre es$U_A-U_B$, ¿Estoy en lo correcto?

Si eso es correcto.

La regla mnemotécnica es muy simple:$U$es como la altura de la pendiente. Cuando subes,$U_B>U_A$, y eres tú quien hace el trabajo. Pero cuando bajas,$U_A>U_B$, y es la fuerza de campo quien hace el trabajo.

Vamos a tomarlo desde el principio. ¿Qué es la energía cinética ?$KE$?

Para una partícula, es$\frac{mv^2}{2}$, y para un sistema de partículas es$\Sigma\large\frac{mv_i^2}{2}$para todos$i$partículas

Ahora, ¿cómo cambiar la energía cinética de una partícula? Para eso tendrás que cambiar$|v|$, y para eso hay que aplicar una fuerza .

Entonces, ¿cómo calcular cuánto$\Delta KE$es, conocer la trayectoria de la partícula?

La respuesta a esto es: encontrar$\int^b_a \vec{F}\cdot d\vec{s}$, dónde$d \vec{s}$es un vector de traslación infinitesimal a lo largo del camino, es decir, en la dirección de aplicación de la fuerza , pero hay que conocer el camino de antemano.

Esta integral es lo que llamamos Trabajo. Es sólo un número. Podríamos haberlo llamado también "cambio de energía cinética por una fuerza", pero "trabajo" suena mejor.

Una limitación del trabajo: no se puede predecir el camino dado el trabajo.

Ahora bien, hay dos tipos de fuerzas macroscópicamente : fuerzas conservativas y fuerzas no conservativas.

Ley: Se conserva la energía (también un número) de un sistema aislado.

Las fuerzas conservativas, por definición, son tales que entre dos puntos fijos cualesquiera, independientemente de la ruta en la que realice el trabajo, el cálculo es independiente de la ruta. Para fuerzas no conservativas, el trabajo depende de la trayectoria.

Ahora, sabemos que la energía de un sistema aislado es constante, y una "fuente de fuerza" aplicará una fuerza no conservativa o conservativa, y cualquier energía que gane el cuerpo en movimiento, la fuente perderá la misma cantidad de energía. .

Suponga que aplica una fuerza no conservativa y toma un objeto de$A$a$B$, su trabajo depende de la ruta; hay un número infinito de posibilidades de cuánta energía perderá (ganará, si$\Delta KE$es negativo).

Pero para una fuerza conservativa solo hay una posibilidad, ya que el trabajo (o equivalentemente$\Delta KE$) es independiente de la ruta. Entonces, una fuente que aplica una fuerza conservativa siempre perderá / ganará la misma cantidad de energía si la toma de$A$a$B$no importa el camino que tomes.

Entonces podemos llamar a este cambio de energía para una fuerza conservativa: energía potencial, o simbólicamente$\Delta U$(que muestra el potencial de una fuente). Ahora solo tú puedes calcular$\Delta U$.

Ahora piénsalo: la energía perdida por la fuente es igual a la energía ganada por la cosa que se movió, por lo que podemos decir$-\Delta U = Work = \Delta KE$, recordando que$\Delta U + \Delta KE = 0$de la conservación de la energía.

Y esta es la única definición de la diferencia de energía potencial . La energía potencial no es nada, solo los cambios en la energía potencial tienen un significado.

Y cuando los libros de texto se refieren a la energía potencial, están calculando los cambios asignando$U_{\infty}$como$0$Como solo importa el cambio, puede elegir cualquier punto para que tenga potencial cero y el cambio neto se ajustará automáticamente.

Y este cambio de energía potencial puede verse físicamente como un cambio en el campo de una fuerza en el espacio, o la compresión de un resorte, etc.

Ver también aquí: Derivación de energía potencial electrostática

"¿Y qué si es una fuerza de atracción? ¿Cómo debería influir esto en nuestros cálculos

Porque has escrito la relación trabajo-energía en una taquigrafía incompleta. La versión correcta,

Esta relación es la fuente de todos los misteriosos cambios de signo que te confunden. En gravedad la fuerza entre dos cuerpos siempre apunta en la dirección de menor separación, pero en electrostática puede apuntar en cualquier dirección dependiendo del signo del producto de las cargas.

El signo menos se puso allí cuando creamos energía mecánica. toma el$\int \vec{F}\cdot\vec{dr}$. Esta es una integral indefinida. Si restas esta integral a sí misma, da una constante, porque la integral indefinida se define hasta una constante.

De este modo,

$c = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} - \int \vec{F}\cdot d\vec{r}$

Calcular el primer término sustituyendo en$\vec{F}=m\vec{a}=m\frac{\vec{dv}}{dt}$y$d\vec{r} = \vec{v}dt$. Conseguirás$\frac{1}{2}mv^2$Calcula el segundo término exactamente, cuando sea posible.

$c = \underbrace{\frac{1}{2}mv^2}_{T} \underbrace{- \int \vec{F}\cdot d\vec{r}}_{+V}$

Llamamos a esta constante la energía. Esta es la razón por la cual el signo menos proviene del potencial.

En cuanto al trabajo que necesitas hacer, tienes que calcular$W = \int \vec{F}\cdot\vec{dr}$donde la fuerza es la fuerza que aplicas para llevar la partícula del punto A al punto B. Para saber si esto es Ua - Ub o Ub-Ua, debes verificar cómo lo calcularon. Esto no siempre es lo mismo en los libros de electromagnetismo. A algunos les gusta tomar$d\vec{r}$un camino que va hacia afuera desde la carga puntual o que entra. Alejándose, si calcula$\int\vec{F}\cdot d\vec{r}$dónde$\vec{F}$es la fuerza que aplicas a lo largo de tu camino, nunca te equivocas.