Justificación de nivel de primer año para el uso de (x,p)(x,p)(x,p) en el espacio de fase termodinámica

Estoy buscando una explicación elemental, a nivel de primer año, de por qué usamos la posición y el momento para el espacio de fase en lugar de, digamos, la posición y la velocidad.

En este nivel, no va a funcionar apelar a coordenadas generalizadas y demás. Creo que probablemente hay argumentos que se pueden construir basados ​​en el teorema de Liouville, que básicamente nos dice que d X d pag es la medida natural para la probabilidad, pero de nuevo, eso no funciona en este nivel, ni puedo apelar a simpléctico-bla, bla.

Reif es un libro de este nivel que, por lo general, presta especial atención a tales cuestiones fundamentales, pero todo lo que parece tener es la siguiente nota al pie en la p. 226:

Si q denota una coordenada cartesiana ordinaria y si no hay campo magnético presente, el momento p está simplemente relacionado con la velocidad v de la partícula de masa m por la proporcionalidad p = mv. Sin embargo, la descripción en términos del momento p en lugar de la velocidad v es válida en casos más generales y, por lo tanto, es la que se usa comúnmente.

Esto parece ser oscuro y no una justificación real.

El otro libro de pregrado con el que estoy familiarizado es Kittel, que es un texto de división superior. La filosofía de Kittel es utilizar agresivamente la mecánica cuántica. La propaganda del editor dice que el libro "ofrece un enfoque moderno de la física térmica que se basa en la idea de que todos los sistemas físicos pueden describirse en términos de sus estados cuánticos discretos, en lugar de basarse en conceptos de mecánica clásica del siglo XIX". Quizás por esta razón, no parece haber ninguna discusión sobre esto en Kittel. Ni siquiera hay una entrada en el índice para "espacio de fase".

La mejor justificación ondulada a mano que he podido encontrar es la siguiente. No es difícil ver qué sale mal si tratamos de usar velocidades en lugar de momentos. Cuando chocan objetos de diferente masa, no pueden transferir energía de manera arbitraria mientras siguen obedeciendo la conservación del momento. Por ejemplo, si lanza una pelota de golf con una energía de 10 julios y la pelota de golf golpea una bola de boliche, no es posible que la bola de boliche absorba los 10 julios de energía de la pelota de golf en forma de energía cinética. . El resultado es que, estadísticamente, en tales colisiones, existe una tendencia a que el objeto menos masivo sufra aceleraciones más grandes y tenga velocidades más grandes. Esto significa que no es razonable asignar la misma probabilidad por unidad de velocidad a la pelota de golf que a la de boliche.

¿Alguien puede proporcionar algo que sea una justificación más real que esto, sin apelar a muchos conocimientos más allá del nivel de física de primer año?

Buena pregunta, creo que puedes usar la velocidad en lugar del impulso, pero no obtendrías la conservación del espacio de fase porque la velocidad no se conserva como el impulso. Si todo tiene la misma masa y no hay campos EM, ambos enfoques serían equivalentes.
Tampoco creo que el argumento heurístico funcione. Si extiendes la lógica, después de muchas colisiones obtienes equipartición de energía, lo que significa que la bola de boliche y la pelota de golf tienen una energía comparable. pag 2 / 2 metro , No es comparable pag . Realmente no puedo imaginar ningún enfoque que funcione que no sea el teorema de Liouville o una derivación disfrazada del teorema de Liouville para un sistema simple.
@knzhou: El argumento no pretendía ser una prueba de que d pag es la medida de probabilidad correcta, solo que v no puede ser Obviamente, no hay ningún razonamiento cuantitativo para conectarse con las probabilidades. Realmente no puedo imaginar ningún enfoque que funcione que no sea el teorema de Liouville o una derivación disfrazada del teorema de Liouville para un sistema simple. Una presentación disfrazada del teorema de Liouville para un sistema simple podría ser excelente.
Tal vez resolver explícitamente la integral de espacio de fase (conservada) del oscilador armónico 1D lo haría. Entonces puedes visualizar el espacio de fase directamente.
@KFGauss: Casualmente, estaba visualizando eso mientras paseaba a mis perros. Sin embargo, no creo que obtengas nada interesante al considerar un solo oscilador armónico, porque entonces el cambio de variables a pag o v es solo una reescala del área por un factor fijo de metro . Creo que el ejemplo mínimo que aborde esto probablemente sea uno en el que dos partículas con diferentes masas se dispersen o interactúen de alguna manera.
@Ben Crowell, ese es un buen punto. Quizás dos masas distintas conectadas por un resorte harían el trabajo. Tres trayectorias espaciales de dos fases se pueden codificar con colores en un X , pag diagrama. Intentaré resolver esto.

Respuestas (1)

He aquí una justificación intuitiva elemental del teorema de Liouville. Es posible que desee agregar imágenes. No es una prueba.

1 - El teorema de Liouville se aplica a funciones complejas que tienen derivadas continuas de todos los órdenes.

La derivada de una función compleja es una condición mucho más fuerte que la de una función real. Es la pendiente de un plano tangente en lugar de la recta tangente. Puede dibujar una línea tangente a través de un punto desde cualquier dirección. Todas estas líneas deben tener la misma pendiente compleja. Esto debe ser cierto en ambos lados del punto. Todas las líneas deben ser coplanares.

2 - Aunque la magnitud de una función compleja puede ser cóncava hacia arriba o hacia abajo en un punto, la magnitud no puede ser cóncava hacia abajo en el máximo. Es decir, la magnitud no puede tener la cima de una colina o una cresta en su máximo.

Supongamos que tuviera tal máximo. El plano tangente debe ser horizontal. La derivada de la magnitud debe ser 0 .

No dijimos nada todavía sobre la fase de la pendiente. Debe ser el mismo en todas las direcciones a través del punto. Pero si la magnitud de la pendiente es 0 , la fase no importa.

La segunda derivada también es una función diferencial continua. Para cualquier línea que pasa por el punto, la magnitud no puede ser positiva en un lado y negativa en el otro. La magnitud de este también debe tener un plano tangente horizontal en el punto. La derivada debe ser 0 en el punto.

Una función real puede ser cóncava hacia abajo al máximo, y aún así tener derivadas primera y segunda 0 . P.EJ y = − X 4 . Alguna derivada de orden superior en una vecindad del punto debe ser distinta de cero. Para una función compleja, podemos hacer un argumento como el anterior de que las derivadas de todos los órdenes deben ser 0 en el punto.

Una expansión en serie de potencias implica que la función debe ser constante para alguna vecindad del punto.

3 - La vecindad donde la función es constante no puede ser acotada.

Si lo fuera, considere un punto en el límite. Cualquier derivada de orden sería 0 en un lado. Tendría que ser por tanto 0 en el otro. Si todas las derivadas de órdenes son 0 , hay una vecindad de este punto límite donde la función es constante. Este no es un punto límite.

Por tanto, la región donde la función es constante debe cubrir todo el plano complejo.

Parece que estás hablando de un teorema de Liouville diferente.
¿Existe una conexión entre ese teorema y en.wikipedia.org/wiki/Liouville%27s_theorem_(Hamiltonian) (que creo que es del que habla Ben)?
Acabo de buscar el nombre Teorema de Liouville.
Esto parece un buen artículo sobre el otro teorema de Liouville. Tal vez podría hacer una auto-preguntas y respuestas sobre matemáticas.SE y copiarlo. Pero no creo que sea relevante como respuesta a esta pregunta.
@BenCrowell - Sí. Fue un error. No sabía que había más de uno. Difícilmente tiene sentido copiarlo si nadie lo necesita.
Justificación de nivel de primer año para el uso de (x,p)(x,p)(x,p) en el espacio de fase termodinámica
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