Voy a cambiar la notación para hacer las ecuaciones más compactas. El contrapeso es$M$y la carga útil es$m$. la longitud de la barra es$L$y la distancia del centro de gravedad al contrapeso es$a=\frac{m}{M+m}\,L$y de la carga útil$b=\frac{M}{M+m}\,L$tal que$L=a+b$. Tenga en cuenta que no he dicho nada sobre el pivote todavía.

La distancia entre el pivote y el centro de gravedad es$c$y es una variable independiente que deseamos optimizar. El pivote está entre el centro de gravedad y la carga útil (para positivo$c$). El ángulo de la barra es$\theta$con$\theta=0$cuando es horizontal.

La altura del pivote desde el suelo es$h$tal que cuando el contrapeso toca el suelo, la carga útil se lanza a$\theta_{f} = -45^\circ$. Entonces$h=(a+c) \sin(- \theta_f$). En consecuencia, el ángulo inicial es$\sin \theta_i = \frac{a+c}{b-c} \sin(- \theta_f )$para que la carga útil descanse en el suelo inicialmente. Esto es válido para$c<\frac{b-a}{2}$, de lo contrario, las cosas se sientan verticalmente con$\theta_i=\frac{\pi}{2}$.

Hacer la dinámica usando las leyes de Newton o las ecuaciones de Langrange producirá la siguiente fórmula de aceleración

$$\ddot{\theta} = -\,\frac{c g (M+m) \cos(\theta)}{\frac{m M}{M+m} L^2 + (M+m) c^2}$$

Siendo el denominador el momento de inercia con respecto al pivote. Aquí están las cosas divertidas. Lo anterior se puede integrar ya que el lado derecho es una función de$\theta$solo con una constante$\alpha$:

$$\ddot{\theta}=\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}t} =-\alpha \cos(\theta)$$ $$\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}\theta} \frac{{\rm d}\theta}{{\rm d}t} = -\alpha \cos(\theta)$$ $$\frac{{\rm d}\dot\theta}{{\rm d}\theta} \dot\theta = -\alpha \cos(\theta)$$ $$\int \dot\theta {\rm d}\dot\theta =-\int \alpha \cos(\theta) {\rm d}\theta + K$$ $$\frac{{\dot \theta}^2}{2} = -\alpha \sin \theta + K$$

con$K$basado en las condiciones iniciales ($\theta=\theta_i$,$\dot\theta=0$)

$$\dot\theta = \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta))}$$

y la velocidad de rotación final

$$\dot\theta_f = \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta_f))}$$

tangencialmente, la velocidad de lanzamiento de la carga útil es

$$v_{B_f} = (b-c) \dot\theta_f = (b-c) \sqrt{2 \alpha (\sin(\theta_i)-\sin(\theta_f))}$$

con ambos$\alpha$y$\theta_i$dependiendo de la variable$c$.

Para optimizar establecemos$\frac{{\rm d}v_{B_f}}{{\rm d}c}=0$que se resuelve para:

$$\frac{c}{L} = \frac{\sqrt{m} \left( \sqrt{M+m}-\sqrt{m} \right)}{M+m }$$

por ejemplo, un$m=20 {\rm lbs}$carga útil, con$M=400 {\rm lbs}$contrapeso en un$L=20 {\rm ft}$barra, requiere que el pivote sea$c=20\;\frac{\sqrt{20} \left( \sqrt{420}-\sqrt{20} \right)}{420 } = 3.412\;{\rm ft}$del centro de gravedad. el cg es$a=\frac{20}{420}\,20 = 0.952 {\rm ft}$del contrapeso.

Editar 1

Según los comentarios hechos por el OP, la velocidad de lanzamiento es

$$v_{B_{f}}=\left(\frac{M}{M+m}L-c\right)\sqrt{\frac{2cg(M+m)}{\frac{M}{M+m}L^{2}+(M+m)c^{2}}\left(\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}\right)}$$ dónde $g=9.80665\,{\rm m/s}$es la gravedad

Con contrapeso infinito la velocidad máxima de lanzamiento es$\max(v_{B_{f}})=\sqrt{\frac{2g(L-c)^{2}}{c}}$para alcanzar$v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$de la tierra si$c=1\,{\rm m}$entonces$L>1355.8\,{\rm m}$.

Con una longitud de barra infinita, la velocidad máxima de lanzamiento es$\max(v_{B_{f}})=\sqrt{\frac{2Mcg}{m}}$para alcanzar$v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$de la tierra si$c=1\,{\rm m}$entonces$M>18.3\,10^{6}\,{\rm kg}$.

Así que consideremos$L=2000\,{\rm m}$y$M=40.0\,10^{6}\,{\rm kg}$luego elegimos la ubicación del pivote en$c=1.500\,{\rm m}$Llegar

$$v_{B_{f}}=(1999.999-1.5)\sqrt{2\;4.526\left(\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}\right)}$$ que se resuelve para $v_{B_{f}}=6000\,{\rm m/s}$cuando $\sin\theta_{i}-\sin\theta_{f}=0.9957$con $\theta_{i}>0$y $\theta_{f}<0$.

Estos son los que he resuelto hasta ahora, pero no estoy seguro de que sean correctos o que esté usando la forma correcta de derivar la velocidad del proyectil a través del par en el pivote. Otras respuestas serían bienvenidas, además de revisar y corregir cualquier error que tenga en estas ecuaciones/metodología.

Energía potencial

${PE}_{weight} = gm_{weight}*(h_{weight}(\theta_0) - h_{weight}(\theta_{launch}))$

${PE}_{weight} = gm_{weight}(l_{shortArm}cos(\theta_0) - l_{shortArm}cos(\theta_{launch}))$

${PE}_{weight} = gm_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch}))$

${PE}_{projectile} = gm_{projectile}*(h_{projectile}(\theta_0) + h_{projectile}(\theta_{launch})$

${PE}_{projectile} = gm_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_{launch}) - cos(\theta_0))$

${PE}_{system} = {PE}_{weight} + {PE}_{projectile}$

${PE}_{system} = \small{g(m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_{launch}) - cos(\theta_0))}$

Efectivo

$Force\;On\;Pivot = {Torque}_{weight} - {Torque}_{projectile}$

$F_{pivot} = \tau_{weight} - \tau_{projectile}$

$F_{pivot} = r(F_{weight}-F_{projectile})sin(\theta)$

$F_{pivot} = g*sin(\theta)(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})$

$Torque\;On\;Projectile = {Torque}_{projectile} = \tau_{projectile}$

$\tau_{projectile} = r * F_{pivot}$

$\tau_{projectile} = l_{longArm}(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})g*sin(\theta)$

Distancia

$d_{projectile} = l_{longArm}cos(\theta_0 - \theta_{launch})$

Velocidad

$v_{projectile} = \sqrt{v_{initial}^2 + 2a_{projectile}d_{projectile}}$

$v_{projectile} = \sqrt{\frac{2\tau_{projectile}d_{projectile}}{m_{projectile}}}$

$v_{projectile} = \sqrt{\frac{2l_{longArm}(l_{shortArm}m_{weight}-l_{longArm}m_{projectile})g*sin(\theta_0 - \theta_{launch})l_{longArm}cos(\theta_0 - \theta_{launch})}{m_{projectile}}}$

$v_{projectile} = \sqrt{2g*sin(\theta_0 - \theta_{launch})cos(\theta_0 - \theta_{launch})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})}$

$v_{projectile} = \sqrt{g*sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})}$

Energía cinética

${KE}_{projectile} = \frac{1}{2}m_{projectile}v_{projectile}^{~2}$

${KE}_{projectile} = \frac{1}{2}m_{projectile}(g*sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3}))$

${KE}_{projectile} = \frac{g}{2}m_{projectile}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(\frac{l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight}}{m_{projectile}} - l_{longArm}^{~3})$

${KE}_{projectile} = \frac{g}{2}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})$

Eficiencia

Por lo tanto, podemos calcular la eficiencia de todo el sistema por:

$Efficiency = \frac{E_{out}}{E_{in}} = \frac{{KE}_{projectile}}{{PE}_{system}}$

$Efficiency = \frac{\frac{g}{2}sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})}{g(m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_0) + cos(\theta_{launch}))}$

$Efficiency = \frac{1}{2}\frac{sin(\frac{\theta_0 - \theta_{launch}}{2})(l_{longArm}l_{shortArm}m_{weight} - l_{longArm}^{~3}m_{projectile})}{m_{weight}l_{shortArm}(cos(\theta_0) - cos(\theta_{launch})) + m_{projectile}l_{longArm}(cos(\theta_0) + cos(\theta_{launch}))}$