Separación de la energía potencial de un sistema de partículas.

Question

Separación de la energía potencial de un sistema de partículas.

usuario58536

Suponiendo que todas las fuerzas se derivan de una fuente conservativa y que todas las fuerzas observan la forma fuerte de la tercera ley, ¿cómo llegamos a la siguiente ecuación?

V = \sum_{i} V_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i} \sum_{j, j \neq i} V_{i j}

$\begin{equation} V=\sum _i V_i+\frac 12 \sum _i \sum _{j,j\neq i}V_{ij} \end{equation}$

Bien, aquí están mis pensamientos.

En primer lugar, dividimos el trabajo en componentes internos y externos:

\sum_{i} \int_{r_{1}}^{r_{2}} {\vec{F_{i}}}^{(mi)} \cdot d {\vec{s}}_{i} + \sum_{i, j} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F_{i j}} \cdot d {\vec{s}}_{i}

$\begin{equation} \sum _i\int ^{r_2}_{r_1}\vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec s _i+\sum _{i,j}\int ^{r_2}_{r_1}\vec {F_{ij}}\cdot d\vec s _i \end{equation}$ El factor de un medio entra ya que estamos sumando sobre ambos

i

$i$ y

j

$j$ , y (creo) podemos suponer que

V_{i j} = V_{j i}

$V_{ij}=V_{ji}$ (¿por qué?).

dejar,

{\vec{F}}_{i}^{(mi)} = - \nabla_{i} V_{i} ({\vec{r}}_{1}, . . ., {\vec{r}}_{norte}) {\vec{F}}_{i j} = - \nabla_{i j} V_{i j} (| {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |)

$\begin{equation} \vec F_i ^{(e)}=-\nabla_iV_i(\vec r_1,...,\vec r_n)\\ \vec F_{ij}=-\nabla_{ij}V_{ij}(|\vec r_i -\vec r_j|) \end{equation}$

El $|\vec r_i -\vec r_j|$ es solo la magnitud de la separación de partículas.

Ahora el trabajo viene dado por:

W = \sum_{i} \int_{r_{1}}^{r_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{r}}_{i}} V_{i} \cdot d {\vec{r}}_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{r_{1}}^{r_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{r}}_{i j}} V_{i j} \cdot d {\vec{r}}_{i j}

$\begin{equation} W=\sum _i\int ^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_i}V_i\cdot d\vec r_i+\frac 12 \sum _{i,j}\int^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_{ij}}V_{ij}\cdot d\vec r_{ij} \end{equation}$

W = - \sum_{i} \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V_{i} - \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V_{i j}

$\begin{equation} W=-\sum _i\int^{V_2}_{V_1}dV_i-\frac 12 \sum _{i,j}\int ^{V_2}_{V_1}dV_{ij} \end{equation}$ Así que mi pregunta es ¿cómo llegamos al paso final? Todo esto es de Goldstein en el primer capítulo. Desafortunadamente, no puedo seguir la derivación en absoluto ...

Respuestas (1)

Separación de la energía potencial de un sistema de partículas.

david hamen · Answer 1

En primer lugar, dividimos el trabajo en componentes internos y externos:
$\sum_{i} \int_{r_{1}}^{r_{2}} {\vec{F_{i}}}^{(mi)} \cdot d {\vec{s}}_{i} + \sum_{i, j} \int_{r_{1}}^{r_{2}} \vec{F_{i j}} \cdot d {\vec{s}}_{i}$ $\begin{equation} \sum _i\int ^{r_2}_{r_1}\vec{F_i}^{(e)}\cdot d\vec s _i+\sum _{i,j}\int ^{r_2}_{r_1}\vec {F_{ij}}\cdot d\vec s _i \end{equation}$ El factor de un medio entra ya que estamos sumando sobre ambos $i$ y $j$ , y (creo) podemos suponer que $V_{ij}=V_{ji}$ (¿por qué?).

No tienen que ser iguales. Solo tienen que ser iguales dentro de una constante arbitraria. Agregar una constante arbitraria a un potencial no hace ninguna diferencia (al menos en la mecánica clásica), por lo que bien podría llamarse cero a esa constante.

Para ver por qué tienen que ser iguales (dentro de una constante), asuma $V_{ij} = V_{ji} + \Delta V_{ij}$ , dónde $\Delta V_{ij}$ es una función no constante. Entonces $\vec F_{ij} = -\vec\nabla_{ij} V_{ij}$ $= -\vec\nabla_{ij} V_{ji} - \vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij}$ . Tenga en cuenta que $\vec\nabla_{ij} V_{ji} = -\vec\nabla_{ji}V_{ji} = \vec F_{ji}$ De este modo $\vec F_{ij} = - \vec F_{ji} - \vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij}$ . La única forma en que esto puede satisfacer la tercera ley de Newton es si $\vec\nabla_{ij} \Delta V_{ij} = 0$ . Esto contradice la suposición de que $\Delta V_{ij}$ es una función no constante.

dejar,
${\vec{F}}_{i}^{(mi)} = - \nabla_{i} V_{i} ({\vec{r}}_{1}, . . ., {\vec{r}}_{norte}) {\vec{F}}_{i j} = - \nabla_{i j} V_{i j} (| {\vec{r}}_{i} - {\vec{r}}_{j} |)$ $\begin{equation} \vec F_i ^{(e)}=-\nabla_iV_i(\vec r_1,...,\vec r_n)\\ \vec F_{ij}=-\nabla_{ij}V_{ij}(|\vec r_i -\vec r_j|) \end{equation}$

El $|\vec r_i -\vec r_j|$ es solo la magnitud de la separación de partículas.

Tienes un malentendido aquí con respecto a las fuerzas externas. La fuerza $\vec F_i^{(e)}$ y por lo tanto el potencial $V_i$ depende solo de $\vec r_i$ . No hay dependencia de $\vec r_j$ dónde $j \ne i$ . Esa primera línea debería ser $\vec F_i^{(e)} = -\nabla_i V_i(\vec r_1)$ .

Ahora el trabajo viene dado por:
$W = \sum_{i} \int_{r_{1}}^{r_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{r}}_{i}} V_{i} \cdot d {\vec{r}}_{i} + \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{r_{1}}^{r_{2}} - \frac{\partial}{\partial {\vec{r}}_{i j}} V_{i j} \cdot d {\vec{r}}_{i j}$ $\begin{equation} W=\sum _i\int ^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_i}V_i\cdot d\vec r_i+\frac 12 \sum _{i,j}\int^{r_2}_{r_1}-\frac{\partial }{\partial \vec r_{ij}}V_{ij}\cdot d\vec r_{ij} \end{equation}$ $W = - \sum_{i} \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V_{i} - \frac{1}{2} \sum_{i, j} \int_{V_{1}}^{V_{2}} d V_{i j}$ $\begin{equation} W=-\sum _i\int^{V_2}_{V_1}dV_i-\frac 12 \sum _{i,j}\int ^{V_2}_{V_1}dV_{ij} \end{equation}$ Así que mi pregunta es ¿cómo llegamos al paso final? Todo esto es de Goldstein en el primer capítulo. Desafortunadamente, no puedo seguir la derivación en absoluto ...

usos de Goldstein $\int_1^2$ , no $\int_{r_1}^{r_2}$ o $\int_{V_1}^{V_2}$ Esto puede ser parte de su problema. Su propia notación puede confundirlo.

La segunda línea se sigue de la primera como consecuencia del hecho de que $dV = \vec{\nabla} V \cdot d\vec r$ por algún potencial $V$ .

¡Gracias por su respuesta! ¡Ahora entiendo por qué los potenciales son iguales hasta una constante! ¿Es la fuerza solo una función de la interacción entre una partícula y el origen del sistema de coordenadas? ¡Supongo que eso tiene más sentido! ¿Podría escribir en su lugar $\vec F ^{(e)}_{i}=-\nabla _iV_i(\vec r_i)$ ¿en cambio? ¡Tu último punto golpea mi gran malentendido! Espero que tal vez puedas expandirte un poco... ¿Qué es Goldsteins? $1$ y $2$ ... el gran problema que tengo es convertir las integrales de $r$ a $V$ ... este es el quid de mi pregunta.
La fuerza externa sobre la i-ésima partícula es una interacción entre esa partícula y las cosas (otras partículas) que se encuentran fuera de los límites del sistema. Tenga en cuenta que la mecánica newtoniana es, en última instancia, un sistema basado en "partículas" (donde las "partículas" no están muy bien definidas) y las interacciones son de partícula a partícula. La tercera ley de Newton no funciona con una interacción de tres partículas (y hay algunas interacciones de tres partículas en QM). Entonces, sí, podrías escribir $vec F_i^(e) = -\nabla_i V_i(\vec r_i)$ en cambio. Eso es exactamente lo que dice tu primer trabajo integral.
Con respecto a Goldstein 1 y 2: Representan configuraciones inicial y final de todas las partículas. Dado que el potencial externo $V_i$ depende solo de $r_i$ , esa primera integral se escribe mejor como $\int_{\vec r_i;1}^{\vec r_i;2} -\nabla_i V_i(\vec r_i) \cdot d\vec r_i$ dónde $\vec r_{i,1}$ y $\vec r_{i,2}$ representa las posiciones inicial y final de la i-ésima partícula. Como una integral sobre el potencial, esto se convierte en $\int_{V_{i;1}}^{V_{i;2}} d V_i$ dónde $V_{i;1}$ y $V_{i;2}$ son los valores inicial y final de $V_i$ . Los potenciales internos se tratan de manera similar.
Muchas gracias por su tiempo... Siento que estoy muy cerca de entender esto... un último punto... (y aunque esto puede ser simple, realmente me ha dejado perplejo... cambiar de $\int^{\vec {r}_i;2}_{\vec {r}_i;1}-\nabla _iV_i(\vec {r}_i)\cdot d\vec r_i$ a $\int ^{V_i;2}_{V_i;1}dV_i$ ¿Literalmente simplemente cancelas el $\frac {1}{\partial r_i}$ Para el $d\vec r_i$ ?
No, usted no cancela literalmente el $1/\frac \partial r_i$ para el d\vec $f_i$ . Eso es lo que yo llamo "matemáticas físicas" y te meterá en problemas. Parece funcionar en este caso por dos (o tres) razones: (1) $V_i$ es una función de $\vec r_i$ solo 2) $d V_i$ es un diferencial exacto, y (3) la fuerza resultante es conservativa y, por lo tanto, independiente de la trayectoria. Tenga en cuenta, sin embargo, que (3) es una consecuencia de (2).

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