Mecánica de Fluidos desde un principio variacional

Esta es la razón de las coordenadas lagrangianas en mecánica de fluidos.

El campo de velocidad es un momento, por lo que la descripción variacional de Lagrange necesita la coordenada correspondiente. La coordenada correspondiente es el mapa que te dice dónde termina cada partícula de fluido si sigues el flujo hasta el tiempo t. Este es un difeomorfismo, y la formulación hamiltoniana está en un espacio de fase de todos los difeomorfismos y su espacio tangente, que son los campos vectoriales de velocidad.

La energía cinética es solo la integral del cuadrado de la velocidad, y hay una presión que se aplica mejor al hacer cumplir la restricción de que el fluido es incompresible por los multiplicadores de Lagrange (si es incompresible). La formulación lagrangiana está cubierta en muchos lugares. No es particularmente conveniente desde el punto de vista computacional porque el difeomorfismo generado por un flujo es completamente imposible de determinar e irrelevante porque los difeomorfismos son un grupo homogéneo.

VA Arnold tiene un tratamiento de este punto de vista en su libro "Métodos topológicos en hidrodinámica", que es muy bueno y enfatiza la geometría.

Bueno, este es un gran tema, cf. por ejemplo, ref. 1-2 y, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

1. El funcional de acción más simple para la dinámica de fluidos en la imagen de flujo de Lagrange es

   $$\begin{align} I[{\bf r}] ~=~&\int \!\mathrm{d}\tau~\mathrm{d}^3{\bf a}~{\cal L},\cr {\cal L}~=~&\frac{1}{2}\dot{\bf r}^2 - \varepsilon\left(\rho({\bf a})^{-1}, S({\bf a})\right) -\phi({\bf r} ,\tau)) .\end{align}\tag{2.6}$$ Aquí${\bf r}={\bf r}({\bf a}, \tau)$son la posición de un paquete fluido ;${\bf a}$es la coordenada de etiquetado del paquete de fluido;$\varepsilon$es energía interna específica;$S$es la entropía específica; y$\phi$es una energía potencial específica. Sus ecuaciones EL son la segunda ley de Newton para el fluido: $$\begin{align} -\ddot{\bf r}~\approx~&\rho^{-1}\nabla p +\nabla \phi, \cr p~:=~&\frac{\partial \varepsilon }{\partial (\rho^{-1})} .\end{align}\tag{2.11}$$

2. Sin embargo, en la práctica uno quiere usar la imagen de flujo Euleriana . Esto introduce la simetría de reetiquetado con las restricciones correspondientes. Véase, por ejemplo, Refs. 1-2 para más detalles.

Referencias:

1. R. Salmon, Mecánica de fluidos hamiltoniana, Ann. Líquido Rev. mecánico (1988) 225 . El archivo pdf se puede descargar de la página web del autor .

2. RL Seliger y GB Whitham, Principios variacionales en mecánica continua, Proc. R. Soc. largo A305 (1968) 1 (Punta de sombrero: tpg2114 ).