Maximiza el tiempo de vuelo y el alcance al mismo tiempo en movimiento de proyectiles

Dadas las ecuaciones del movimiento del proyectil (sin resistencia del aire), es fácil encontrar el ángulo de lanzamiento theta que produce el alcance máximo. Ese ángulo es de 45 grados. En cambio, el tiempo máximo de vuelo se obtiene para un ángulo de lanzamiento theta = 90 grados: el proyectil se lanza directamente hacia arriba y el alcance es cero.

Me gustaría encontrar el ángulo de lanzamiento necesario para obtener el alcance máximo y el tiempo máximo de vuelo simultáneamente . Debe haber un ángulo de lanzamiento tal que el alcance y el tiempo de vuelo obtenidos pueden no ser los máximos, pero juntos son los más grandes. ¿Cómo configuraría el problema para encontrar este ángulo de lanzamiento especial? ¿Necesito expresar tanto el tiempo de vuelo como el alcance como una función de theta, es decir, R(theta) y T(theta), multiplicar las dos funciones y establecer la derivada en cero? ¿Debo encontrar el máximo del producto R(theta)*T(theta) o el máximo de la suma R(theta)+T(theta)? ¿O algo mas?

Lo que desea optimizar es una elección suya. El problema con algo como la suma de la distancia y el tiempo es que tienen unidades diferentes, lo que haría que el resultado dependiera de la elección de las unidades (y, por lo tanto, no fuera físico). El producto no sufre de ese problema, pero tampoco el producto de cualquier función arbitraria de r con una función arbitraria de t.
Ejemplo: digamos que a 90° el tiempo de vuelo es de 2 segundos y la distancia horizontal es de 0 metros frente a 45° el tiempo de vuelo/distancia es de 1,5 segundos y 10 metros frente a 70° el tiempo de vuelo/distancia es de 1,9 segundos y 6 metros. ¿Es 1,5 segundos y 10 metros mayor "alcance máximo y tiempo máximo de vuelo" que 1,9 segundos y 6 metros? Solo tú puedes decidir eso. No puedes simplemente sumar los dos números porque si mides la distancia en milímetros (por ejemplo), entonces la distancia sería mucho más importante que el tiempo y terminarías con 45° como respuesta.
De acuerdo. Supongo que no hay una respuesta única a mi pregunta. Entonces, ¿realmente nunca es posible, incluso en problemas que no sean el movimiento de proyectiles, encontrar las condiciones que maximizan dos (o más) variables al mismo tiempo en un problema específico?
Bueno, si especifica lo que quiere maximizar, entonces es matemática.
Perdón por ser tan vago. Digamos que quiero lanzar un objeto lo más lejos posible: el ángulo de lanzamiento es de 45 grados.
Digamos que quiero que esté en el aire por más tiempo. El ángulo es de 0 grados. ¿Qué pasa si quiero encontrar el "mejor" compromiso entre el tiempo de vuelo y el alcance?
Responda cuál es "mejor": 1,5 segundos de tiempo de vuelo y 10 metros de distancia de vuelo o 1,9 segundos de tiempo de vuelo y 6 metros de distancia de vuelo.
De acuerdo. Ya lo veo. Pero si en lugar de preocuparnos por maximizar, ¿qué pasaría si quisiéramos configurar una función que considere tanto el alcance como el tiempo de vuelo y quisiéramos ponderar la importancia de los dos parámetros? ¿Cómo configuraríamos una función como esa?
Un ejemplo de una función de este tipo podría ser "f = c*distancia + k*tiempo", donde c y k son las constantes ponderadas con los valores que elija y las unidades que hacen que f sea adimensional.
Debe comprender que su pregunta no tiene ningún sentido físico/intuitivo. Si está tomando sum: ambas funciones tendrán unidades diferentes, por lo que necesita una constante dimensional k para hacer unidades iguales. Ahora todo depende de la elección de este k . Si está tomando producto: todavía no hay significado físico del resultado.

Respuestas (2)

Tim está optimizando la suma de la altura y la distancia X de la trayectoria parabólica, no el tiempo de vuelo T = 2*u sin(theta)/g, por lo que no responde la pregunta. Para obtener las mismas unidades, podría optimizar la suma de u T y X dando sin(theta) = sqrt(2/3) o theta = 60,8 grados.

Leí mal la pregunta por completo. Ahora mi respuesta parece sin sentido!
En realidad, la pregunta en sí es un poco absurda ya que X solo depende de u y T y no de theta.
Dado que X = uTsqrt(1-(gT/2/u)^2), una buena opción sería T = u*sqrt(2)/g, que es la mayor T antes de que X comience a declinar.

Si v es la velocidad de lanzamiento y θ es el ángulo de lanzamiento sobre la horizontal, el tiempo de vuelo es T = 2 v pecado ⁡ θ gramo La distancia de vuelo es R = 2 v 2 pecado ⁡ θ porque ⁡ θ gramo . No tiene sentido agregarlos directamente porque las unidades no coinciden. Podríamos definir una constante k con unidades de distancia/tiempo y optimizar R + k T = 2 v gramo ( v pecado ⁡ θ porque ⁡ θ + k pecado ⁡ θ ) El constante k dice lo importante que es el tiempo de vuelo para nosotros en comparación con el alcance. Si lo ponemos a cero, ignoramos el tiempo de vuelo, maximizamos el alcance y obtenemos θ = 45 ∘ . Si lo hacemos muy alto, esencialmente ignoramos el rango, maximizamos el tiempo de vuelo y obtenemos θ = 90 ∘ . En el medio, obtenemos un valor intermedio. podríamos hacer k adimensional definiendo k ′ = k v , lo cual es bueno porque v establece la escala del problema. Entonces estamos maximizando pecado ⁡ θ ( 1 + k ′ porque ⁡ θ ) , que tiene derivada porque ⁡ θ ( 1 + k ′ porque ⁡ θ ) − k ′ pecado 2 ⁡ θ = porque ⁡ θ + 2 k ′ porque ⁡ ( 2 θ ) − 1 y puedes resolver θ como una función de k ′

¿Cuál sería k si T y R tuvieran la misma importancia?
No creo que esa pregunta tenga sentido porque k es dimensional. Lo intuitivo sería tomar k = 1 como darles la misma importancia. Si mido T en segundos y R en mm, obtengo una respuesta muy diferente que si mido T en microsegundos y R en km. si configuras k ′ = 1 usted obtiene θ = arcán ⁡ 1 7 ≈ 0.361367
Eso es 20.7 grados. Tengo que probar y ver qué son T y R.
El complementario de 20,7 grados es de 69,7 grados y debería dar el mismo alcance y mayor tiempo de vuelo...
Maximiza el tiempo de vuelo y el alcance al mismo tiempo en movimiento de proyectiles
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