Movimiento de proyectil: calcular el ángulo de aterrizaje

Question

Movimiento de proyectil: calcular el ángulo de aterrizaje

X__

Se lanza un proyectil a una $45^\circ$ ángulo, apuntando a un objetivo a una distancia de 15 pies de distancia, y $2$ pies por debajo de la posición inicial.

Estoy buscando ecuaciones para determinar:

La velocidad inicial del proyectil necesaria para dar en el blanco.
El ángulo en el que el proyectil golpea el objetivo.

Estoy particularmente interesado en saber si hay ecuaciones para resolver esto, ya que estoy interesado en conectar diferentes compensaciones de distancia/altura en el futuro.

Respuestas (2)

Movimiento de proyectil: calcular el ángulo de aterrizaje

turno nocturno · Answer 1

Primero podemos encontrar el ángulo ya que no se dan las velocidades inicial y final, mientras que el desplazamiento inicial se da como X = Y = 0 y el desplazamiento final como X = 4,57 m y Y = 0,61 m.

El objetivo es eliminar las velocidades desconocidas iniciales donde

v_{X} = v_{i} porque (θ)

$v_x = v_i\cos(\theta)$

v_{y} = v_{i} pecado (θ)

$v_y = v_i\sin(\theta)$ Para ello utilizamos ecuaciones

X = v_{i} porque (θ) t

$x = v_i\cos(\theta)t$

y = v_{i} pecado (θ) t - \frac{1}{2} gramo t^{2}

$y = v_i\sin(\theta)t-\frac12gt^2$ reemplazando

v_{i}

$v_i$ tenemos

y = broncearse (θ) X - \frac{1}{2} gramo {(\frac{X}{v_{i} porque θ})}^{2}

$y = \tan(\theta)x-\frac 12 g\left(\frac x{v_i\cos\theta}\right)^2$ Podemos usar esta ecuación para resolver

θ

$\theta$ que es el ángulo en el que se golpea el objetivo.

Dado $\theta$ podemos encontrar $v_i$ usando

y = v_{i} pecado (θ) t - \frac{1}{2} gramo t^{2}

$y = v_i\sin(\theta)t-\frac12gt^2$

Muchas gracias, pero no veo cómo reorganizar la ecuación sustituida (y=tan...) para dar el ángulo (¡Disculpas, mis matemáticas están bastante oxidadas!).
La ecuación y = es trascendental y debe resolverse iterativamente para theta, valores dados para x e y

Juan Alexiou · Answer 2

Comience con la cinemática en coordenadas x e y

\begin{aligned} X & = \frac{v}{\sqrt{2}} t \\ y & = \frac{v}{\sqrt{2}} t - \frac{1}{2} gramo t^{2} \end{aligned}

$\begin{aligned} x &= \frac{v}{\sqrt{2}} t \\ y & = \frac{v}{\sqrt{2}} t - \frac{1}{2} g t^2 \end{aligned}$

Para dar en el blanco en $x$ necesitas $t =\frac{x \sqrt{2}}{v}$ tiempo. En este momento la posición vertical es

y = \frac{v}{\sqrt{2}} (\frac{X \sqrt{2}}{v}) - \frac{1}{2} gramo {(\frac{X \sqrt{2}}{v})}^{2} = X - \frac{gramo X^{2}}{v^{2}}

$y = \frac{v}{\sqrt{2}} \left( \frac{x\sqrt{2}}{v} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{x \sqrt{2}}{v} \right)^2 = x - \frac{g x^2}{v^2}$

Resuelva lo anterior para $v$ la velocidad inicial.

Una vez que tenga la velocidad inicial, calcule la pendiente calculando los componentes de la velocidad en las direcciones x e y en función del tiempo.

\begin{aligned} \dot{X} (t) & = \frac{v}{\sqrt{2}} \\ \dot{y} (t) & = \frac{v}{\sqrt{2}} - gramo t \end{aligned}

$\begin{align} \dot{x}(t) &= \frac{v}{\sqrt{2}} \\ \dot{y} (t)&= \frac{v}{\sqrt{2}} - g t \end{align}$

y

(pendiente) = \frac{\dot{y}}{\dot{X}} = 1 - \frac{gramo t \sqrt{2}}{v}

$\mbox{(slope)} = \frac{\dot{y}}{\dot{x}} = 1 - \frac{g t \sqrt{2}}{v}$

Solo para verificar, obtengo que el ángulo está por debajo de 60 ° y por encima de 50 ° en una dirección negativa.
Estoy obteniendo -55, por lo que parece ajustarse a su rango, ¡gracias! Solo para verificar, ¿la raíz cuadrada de 2 parte de las fórmulas está por encima del desplazamiento de la altura? Es decir, si el objetivo estuviera a 4 pies por debajo de la ubicación inicial, ¿cambiaría estas fórmulas para sacar la raíz cuadrada de 4 donde antes estaba la raíz cuadrada de 2?
el $\sqrt{2}$ proviene del ángulo de lanzamiento de 45°. ¿Conectó la última vez? $t=\frac{x\sqrt{2}}{v}$ y luego la velocidad de lanzamiento $v$ para obtener el ángulo. Mi resultado fue entre -50° y -52° en realidad. También recuerda $\theta=\arctan\mbox{(slope)}$
Todavía no estoy llegando allí, tal vez podamos verificar dónde estoy cometiendo mi error. Obtengo v como 20.64404, t = 1.03, x(t) = 14.60533 y(t) = -1693.44
Podría haber estropeado las unidades. Culpo a la idiota debacle de pies-pulgadas. para el objetivo $(x,y)=(15,-2)$ yo obtengo $\begin{aligned} t & = \sqrt{\frac{2 (X - y)}{gramo}} & v & = X \sqrt{\frac{gramo}{X - y}} \end{aligned}$ $\begin{aligned} t & =\sqrt{ \frac{2(x-y)}{g}} & v & = x \sqrt{\frac{g}{x-y}} \end{aligned}$
Gracias, sí, lo tengo hasta ahí (ver post anterior). El problema está más allá de ese punto: calcular el ángulo usando estos valores.
Creo que puede haber un error en las fórmulas aquí: ¿la raíz cuadrada de 2 partes debería ser 1/sqrt(2) (es decir, cos(45 grados) o sin(45 grados)?)
No, la raíz cuadrada se divide $v$ siempre por $v \cos 45° = \frac{v}{\sqrt{2}}$
Tus cálculos no son incorrectos porque los pies y las pulgadas ya que todo tu trabajo está en pies decimales. La fórmula anterior para y-dot(t) es incorrecta. y-punto(t) = v/sqrt(2)-gt.

Movimiento de proyectil: calcular el ángulo de aterrizaje

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turno nocturno

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usuario16622

Juan Alexiou

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Juan Alexiou

usuario16622

Juan Alexiou

¿Resolver para la velocidad inicial de un proyectil dado el ángulo, la gravedad y las posiciones inicial y final?

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