Máxima probabilidad de éxito para distinguir entre dos estados puros con una medición

Este problema se conoce como estimación de máxima verosimilitud y se resuelve mejor de la siguiente manera.

Dado que solo hay dos estados involucrados, uno puede trabajar en un subespacio bidimensional. Elige una base$\{|0\rangle,|1\rangle\}$tal que

$$\begin{pmatrix} \langle 0|\psi_1\rangle \\ \langle 1|\psi_1\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \langle 0|\psi_2\rangle \\ \langle 1|\psi_2\rangle \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix},$$ que siempre es posible. (Sobre la esfera de Bloch, $|0\rangle$se encuentra directamente en el medio $|\psi_1\rangle$y $|\psi_2\rangle$, y $|1\rangle$es diametralmente opuesta).

El proceso de medición es descrito por dos proyectores.$\Pi_1$y$\Pi_2$, que debe satisfacer$\Pi_1\Pi_2=0$y$\Pi_1+\Pi_2=\mathbb I$; cuando sea$\Pi_1$se observa que se pronuncia por$|\psi_1\rangle$, y viceversa.

Por lo tanto, la probabilidad de éxito es igual a

$$\begin{align} P&= \tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle+\tfrac12\langle\psi_1|\Pi_1|\psi_1\rangle \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_2|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_1\rangle\langle\psi_1|\right] +\tfrac12 -\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right] \\&=\tfrac12+\tfrac12\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\left(|\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2|\right)\right]. \end{align}$$

Aquí la combinación de proyectores de estado se puede resolver para dar

$$\begin{align} |\psi_1\rangle\langle\psi_1|-|\psi_2\rangle\langle\psi_2| &= \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ \sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&\quad- \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos(\alpha/2) \\ -\sin(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&\quad- \begin{pmatrix}\cos^2(\alpha/2) & -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)\\ -\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)& \sin^2(\alpha/2)\end{pmatrix} \\&= \sin(\alpha)\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \\&=\sin(\alpha)\sigma_x. \end{align}$$

Con esto, la probabilidad es igual a

$$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right].$$ Aquí el rastro $\operatorname{Tr}\left[\Pi_1\sigma_x\right]$debe optimizarse mediante una elección adecuada del proyector. La elección óptima es la $+1$autoproyector de $\sigma_x$, entonces $\Pi_1=|+\rangle\langle+|$es la mejor medida posible.

Para ese proyector, la traza es igual a 1, lo que significa que la probabilidad general es

$$P=\tfrac12+\tfrac12\sin(\alpha)$$ como se indica en la pregunta.