¿Cómo se calcula el estado de un sistema cuántico después de una medición imperfecta?

Question

¿Cómo se calcula el estado de un sistema cuántico después de una medición imperfecta?

Física
mediciones
operador de densidad
mecánica cuántica
problema de medicion
información cuántica

DanielSank

Supongamos que tengo un sistema cuántico $S$ ("sistema") con hamiltoniano $H_S$ y matriz de densidad inicial $\rho_S(0)$ . permito $S$ interactuar con otro sistema $P$ ("sonda"), que tiene hamiltoniano $H_P$ y estado inicial $\rho_P(0)$ , a través de una interacción hamiltoniana $H_I$ . entonces mido $P$ en base al operador $\hat{Q}$ .

Supongamos que mi dispositivo de lectura clásico es imperfecto: si $P$ esta en estado $\lvert q \rangle$ que es un estado propio de $\hat{Q}$ con valor propio $q$ , luego mi dispositivo de lectura escupe números $q_\text{readout}$ según una distribución estadística que depende de $q$ . Por ejemplo, podríamos tener un caso en el que el valor de lectura tenga una distribución gaussiana sobre $q$ , es decir

PAGS (q_{leer} | q) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}} Exp [- \frac{(q_{leer} - q)^{2}}{2 σ^{2}}] .

$P(q_\text{readout} | q) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left[ - \frac{(q_\text{readout} - q)^2}{2 \sigma^2} \right] \, .$

Dados los hamiltonianos $H_S$ , $H_P$ , $H_I$ , los estados iniciales $\rho_S$ y $\rho_P$ , la función $P(q_\text{readout}|q)$ , y un valor medido realizado $q_\text{readout}$ , qué conceptos/enfoque se utiliza para averiguar el estado del sistema combinado $S \otimes P$ despues de la medicion? ¿Cómo cambia el resultado si el valor medido $q_\text{readout}$ se ignora?

Una simplificación permitida sería tomar el estado del sistema combinado $\rho_{S P}$ después del paso de interacción como una cantidad conocida. En otras palabras, no estamos tan interesados en computar la evolución de $S \otimes P$ bajo la interacción $H_I$ . Sin embargo, creo que sea o no $H_I$ viaja con $H_S$ termina siendo importante.

notas

Mientras que la distribución de probabilidad del ejemplo (es decir, la gaussiana) es continua, el espectro de $\hat{Q}$ , y/o la distribución $P(q_\text{readout}|q)$ puede ser discreto. ¡Supongo que incluso es posible tener uno continuo y el otro discreto!

Recursos

Una introducción directa a la medición cuántica continua por Jacobs y Steck.

DanielSank

Evité pedir un desarrollo pedagógico completo de la teoría relevante para esta pregunta con respecto a la política de tareas del sitio. Sin embargo, creo que un ejemplo y algunas ecuaciones específicas harían que cualquier respuesta más general fuera más fácil de entender. En otras palabras, no estoy pidiendo un libro de texto, pero escribe uno de todos modos: P

David

Una buena referencia son las primeras 50 páginas del libro de Braginsky sobre medición cuántica: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Creo que aborda las mediciones indirectas "no ortogonales" de frente.

Norberto Schuch

¿Entiendo correctamente que su "medida imperfecta" puede ser descrita por una medida perfecta de

\hat{Q}

$\hat Q$ , seguido de una "codificación" clásica siguiendo, por ejemplo, una distribución gaussiana?

DanielSank

@NorbertSchuch No he pensado detenidamente en esa distinción. ¿Se puede describir el problema de tal manera que el caso que propones se considere como un caso especial de uno más general?

Norberto Schuch

En el caso que describo, debería ser bastante sencillo descubrir cómo describir el estado después de la medición. (La respuesta si ignoras

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ es incluso inmediato). Si la situación es diferente, su problema está claramente subespecificado (y ni siquiera sé a qué se refiere con "

P

$P$ esta en estado

| q ⟩

$\vert q\rangle$ "). Como caso extremo, imagina que no mides nada y solo generas algunos

q_{r e a d o u t}

$q_\mathrm{readout}$ (o, de manera más realista, intenta describir una medición "débil" de perturbación mínima que no pierde ninguna información más allá de lo necesario).

Respuestas (1)

¿Cómo se calcula el estado de un sistema cuántico después de una medición imperfecta?

Evité pedir un desarrollo pedagógico completo de la teoría relevante para esta pregunta con respecto a la política de tareas del sitio. Sin embargo, creo que un ejemplo y algunas ecuaciones específicas harían que cualquier respuesta más general fuera más fácil de entender. En otras palabras, no estoy pidiendo un libro de texto, pero escribe uno de todos modos: P
Una buena referencia son las primeras 50 páginas del libro de Braginsky sobre medición cuántica: amazon.com/Quantum-Measurement-Vladimir-B-Braginsky/dp/… Creo que aborda las mediciones indirectas "no ortogonales" de frente.
¿Entiendo correctamente que su "medida imperfecta" puede ser descrita por una medida perfecta de $\hat Q$ , seguido de una "codificación" clásica siguiendo, por ejemplo, una distribución gaussiana?
@NorbertSchuch No he pensado detenidamente en esa distinción. ¿Se puede describir el problema de tal manera que el caso que propones se considere como un caso especial de uno más general?
En el caso que describo, debería ser bastante sencillo descubrir cómo describir el estado después de la medición. (La respuesta si ignoras $q_\mathrm{readout}$ es incluso inmediato). Si la situación es diferente, su problema está claramente subespecificado (y ni siquiera sé a qué se refiere con " $P$ esta en estado $\vert q\rangle$ "). Como caso extremo, imagina que no mides nada y solo generas algunos $q_\mathrm{readout}$ (o, de manera más realista, intenta describir una medición "débil" de perturbación mínima que no pierde ninguna información más allá de lo necesario).

Daniel · Answer 1

Suponiendo que el sistema y la sonda inicialmente no están correlacionados, la matriz de densidad inicial es

ρ (0) = ρ_{S} (0) \otimes ρ_{PAGS} (0) .

$\rho(0) = \rho_S(0) \otimes \rho_P(0).$

Después de la interacción por un tiempo $t$ , el sistema y la sonda están enredados

ρ (t) = {mi}^{- i H_{completo} t} ρ (0) {mi}^{i H_{completo} t} \equiv ρ_{S PAGS} .

$\rho(t) = e^{-i H_{\text{full}}t}\rho(0)e^{iH_{\text{full}}t} \equiv \rho_{SP}.$

Entonces lo observable $\hat Q$ se mide, que se puede escribir

\hat{q} = \sum_{q} q {\hat{Π}}_{q}, con {\hat{Π}}_{q} = \sum_{j} | q, j ⟩ ⟨ q, j |,

$\hat Q = \sum_q q\hat\Pi_q,\qquad\text{with}\quad\hat\Pi_q=\sum_j|{q,j}\rangle\langle{q,j}|,$ es decir,

\hat{Q}

$\hat Q$ tiene un espectro discreto (continuo implica reemplazar la suma con una integral), donde el valor propio

q

$q$ tiene un espacio propio atravesado por

| q, j ⟩

$|q,j\rangle$ (es degenerado si hay más que en

j

$j$ , que es la situación típica).

En una medida proyectiva de $\hat Q$ , obtienes el valor propio $q$ con una probabilidad $P(q)=\text{Tr}[\rho(t)\hat Q]$ . El estado de su sistema es entonces

ρ_{q} = \frac{{\hat{Π}}_{q} ρ (t) {\hat{Π}}_{q}}{PAGS (q)} .

$\rho_q=\frac{\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q}{P(q)}.$

si has medido $q_r$ , pero su aparato de medición no transfiere la información correctamente (lo que Norbert Schuch llamó "codificación clásica" en su comentario), entonces su estado es

ρ_{q_{r}} = \int d q PAGS (q | q_{r}) ρ_{q} .

$\rho_{q_r} = \int dq \, P(q|q_r)\,\rho_q.$ (o una suma si su distribución de probabilidad es discreta). Como comentó Noiralef,

P (q | q_{r})

$P(q|q_r)$ tiene que ser calculado a partir de

P (q_{r} | q)

$P(q_r|q)$ dado anteriormente usando el teorema de Bayes. Su suposición inicial podría ser una distribución uniforme para

P (q)

$P(q)$ , aunque esto no implica necesariamente una distribución uniforme para

P (q_{r})

$P(q_r)$ .

Si ignora su registro de medición por completo, el estado de su sistema es

ρ_{pasar por alto} = \int d q PAGS (q) ρ_{q} = \int d q {\hat{Π}}_{q} ρ (t) {\hat{Π}}_{q} .

$\rho_{\text{ignore}} = \int dq\, P(q)\rho_q = \int dq\,\hat\Pi_q\rho(t)\hat\Pi_q.$ Este es el estado incondicional . En este caso (y en el primero) todas las coherencias entre diferentes

q

$q$ los subsectores se han ido (si escribe la matriz de densidad en una base donde diferentes bloques corresponden a diferentes

q

$q$ , entonces todos los bloques fuera de la diagonal son cero).

Finalmente, podría considerar el caso en el que la medición es débil. Este es el caso en el que realmente deberíamos saber más sobre la medición. Suponiendo que todo es continuo, puede escribir una familia de operadores de Kraus

{\hat{Υ}}_{q_{r}} = PAGS (q_{r} | \hat{q}),

$\hat{\Upsilon}_{q_r}=P(q_{\text{r}}|\hat Q),$ donde acabas de reemplazar el número

q

$q$ con el operador

\hat{Q}

$\hat Q$ en tu expresión anterior. En este caso, el estado de su sistema posterior a la medición es

ρ_{q_{r}} = \frac{{\hat{Υ}}_{q_{r}} ρ (t) {\hat{Υ}}_{q_{r}}^{†}}{Tr [ρ (t) {\hat{Υ}}_{q_{r}}^{†} Υ_{q_{r}}]} .

$\rho_{q_r} = \frac{\hat\Upsilon_{q_r}\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger}{\text{Tr}[\rho(t)\hat\Upsilon_{q_r}^\dagger\Upsilon_{q_r}]}.$ Cuando miras ahora el estado incondicional integrando sobre

q_{r}

$q_r$ , ¡encontrarás que no es un bloque diagonal!

Editar: Gracias a Noiralef por señalar los errores tipográficos y el teorema de Bayes.

Creo que hay algunos errores aquí. 1.) Si se ignora el resultado de la medición, el estado posterior debe ser $\int dq\, P(q) \rho_q$ con $P(q) = tr[\rho(t) \hat \Pi_q]$ . Tenga en cuenta que su expresión para $\rho_{ignore}$ no tiene traza de unidad. 2.) En el caso de "codificación clásica", creo que el estado resultante es $\int dq\, P(q|q_r) \rho_q$ y $P(q|q_r)$ tiene que calcularse a partir de lo conocido $P(q_r|q)$ utilizando el teorema de Bayes. 3.) En la última ecuación falta una daga. Finalmente, creo que una respuesta completa también debería discutir de alguna manera la interacción entre el sistema y la sonda.
Gracias por señalar los errores tipográficos y el teorema de Bayes. Como no se especifica nada, no creo que pueda discutir la interacción. tal vez yo o alguien más agregue un ejemplo en algún momento.

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