Matrimonios alrededor de una mesa(2)

Resolvamos el problema general, ya que$6$personas es un número muy pequeño, y hay demasiadas formas correctas de contar. (¡También hay formas incorrectas!)

Tenemos$n$parejas,$\{A_1,a_1\}$,$\{A_2,a_2\}$, y así sucesivamente hasta$A_n,a_n$. Aquí definimos$A_i$ser el mas gordo de la pareja$i$.

Para asegurarnos de no contar dos veces sin darnos cuenta dos arreglos que son iguales bajo una rotación, sentemos$A_1$en una silla específica. Entonces la posición de$a_1$está determinado. Dibuja un círculo con$2n$sillas a su alrededor (un polígono regular con$2n$los vértices también funcionarán bien).

Ahora echemos un vistazo a la$n-1$sillas que van en sentido antihorario desde la silla ocupada por$A_1$a la ocupada por$a_1$. Hay$(n-1)!$maneras de decidir cuál de los$n-1$las parejas tendrán un miembro ocupando estas sillas. Por cada elección de este tipo, hay$2$formas de decidir qué miembro de la pareja ocupará la silla. Eso da un total de$(n-1)!\cdot 2^{n-1}$preparativos.

Otra forma: Una vez que nos hayamos sentado$A_1$y$a_1$, hay$2n-2$lugares dejados para$A_2$, y luego la posición de$a_2$está determinado. Para cada una de estas formas, hay$2n-4$Formas de elegir la posición de$A_3$, y luego la posición de$a_3$está determinado.

Etcétera. Obtenemos un total de$(2n-2)(2n-4)(2n-6)\cdots (2)$.

Si sabes dónde están sentadas las esposas, sabes dónde están los maridos. Hay$(3-1)!$Formas de colocar a las esposas alrededor de la mesa. No está considerando que muchos de sus ocho enfoques sean equivalentes (al rotar a las personas). Le sugiero que intente escribir dos arreglos "diferentes" de acuerdo con su enfoque, y luego descubra que son equivalentes.