Matrices de Dirac en regularización dimensional, obtenga el orden correcto épsilon

Trabajemos en dimensión$D = 4-2\epsilon$.

En 4 dimensiones, podemos escribir$\text{Tr}[A B]$, dónde$A$y$B$son cadenas de matrices gamma, como

$\sum_m \text{Tr}[A~\Gamma^m]\text{Tr}[B~\Gamma^m]$, dónde$\Gamma^m = \{1,\gamma_5,\gamma^\mu,\gamma_5\gamma^\mu,\sigma_{\mu\nu}\}$son un conjunto completo de matrices gamma que abarcan el espacio dirac en 4-dim.

Como es bien sabido, generalizando esto a números no enteros$D$dimensión causa dificultades ya que$\gamma_5$(definido como$\gamma_5= i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$en 4-dim.) no se puede definir bien.

A menudo no es necesario trabajar con la forma explícita de$\gamma_5$, pero usa las dos relaciones para evaluar la traza:

i)$~\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0\,,$

ii)$~\text{Tr}[\gamma_5\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\gamma^{\rho}\gamma^{\sigma}]=-4i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\,.$

Sin embargo, en$D$dimensión, las dos relaciones no pueden satisfacerse simultáneamente; y la gente usa diferentes$\gamma_5$-esquemas para tratar$\gamma_5$en$D$-dimensión.

Sin embargo, cuando evalúa ambos rastros$\text{Tr}[A B]$y$\sum_m \text{Tr}[A~\Gamma^m]\text{Tr}[B~\Gamma^m]$en$D$-dimensión mediante el uso de diferentes$\gamma_5$-Esquemas en los que no necesariamente están de acuerdo.

Como ejemplo,

llevar$A = (\gamma\cdot p_1)\gamma^\alpha(\gamma\cdot p_2)$y$B =\gamma^\beta(\gamma\cdot p_1)(\gamma\cdot p_2)$.

Entonces evaluación de$\sum_m \text{Tr}[A~\Gamma^m]\text{Tr}[B~\Gamma^m]$requiere$\gamma_5$elección del esquema.

Entonces$\text{Tr}[A B] = -4~(D-2)~(2~(p_1\cdot p_2)^2 - p_1^2~ p_2^2)$

$\left(\sum_m \text{Tr}[A~\Gamma^m]\text{Tr}[B~\Gamma^m]\right)_{\text{t'Hooft-Veltman}} = -4~(D-2)~\left((D-2)~(p_1\cdot p_2)^2 - (D-3)p_1^2~ p_2^2\right)$

$\left(\sum_m \text{Tr}[A~\Gamma^m]\text{Tr}[B~\Gamma^m]\right)_{\text{NDR}} = -4D~(p_1\cdot p_2)^2 + 8p_1^2~ p_2^2$

donde 'NDR' es el esquema de regularización dimensional ingenuo y 't'Hooft-Veltman' es el esquema t'Hooft-Veltman.

Los tres resultados concuerdan cuando$D$se toma como 4, pero no concuerdan en$\epsilon$términos. ¿Hay alguna forma de garantizar un acuerdo hasta$\epsilon$¿pedazo?