Paridad en matrices gamma

Quiero entender claramente por qué PAG γ m PAG = γ m , dónde PAG es el operador de paridad.

Este resultado se sigue por ejemplo de la pág. 66 de Peskin-Schroeder. El operador de paridad actúa sobre los campos de Dirac de esta manera: PAG ψ ( t , X ) PAG = γ 0 ψ ( t , − X ) , asumiendo que no hay otros factores de fase. En el Dirac bilineal ψ ¯ γ m ψ ( t , X ) , utilizando el hecho de que PAG 2 = 1 , tienes PAG ψ ¯ γ m ψ ( t , X ) PAG = PAG ψ ¯ PAG PAG γ m PAG PAG ψ ( t , X ) PAG = ψ ¯ γ 0 PAG γ m PAG γ 0 ψ ( t , − X ) = ψ ¯ γ 0 γ m γ 0 ψ ( t , − X ) = ( − 1 ) m ψ ¯ γ m ψ ( t , − X )

Con ( − 1 ) m = 1 si m = 0 y ( − 1 ) m = − 1 si m = 1 , 2 , 3 . Entonces PAG γ m PAG = γ m sigue porque PAG y γ m actuar sobre diferentes espacios? ¿O hay otras explicaciones? (Por favor, haz todos los pasos de la respuesta)

Para ser claro: yo uso γ 0 = ( 0 1 1 0 ) y γ i = ( 0 σ i − σ i 0 ) .

Hay que invertir la lógica. v m = ψ ( t , X ) γ m ψ ( t , X ) es un vector de Lorentz. Por definición del operador de paridad, tienes PAG v m PAG = ( − 1 ) m v ′ m ; con v ′ m = ψ ( t , − X ) γ m ψ ( t , − X ) . Para ello, las igualdades que has escrito en tu pregunta significan que debes tener PAG γ m PAG = γ m

Respuestas (1)

Una de las formas de obtener este resultado es la consecuencia trivial de que el operador de paridad debe cambiar el signo de los valores integrales de 3-momentum y corriente mientras deja invariantes los valores de carga y energía total. Por ejemplo, para la densidad de energía tenemos con Ψ ′ = PAG ^ Ψ ( PAG ^ = tu ^ PAG X → − X ) el siguiente resultado:

mi → mi ′ = Ψ ′ † ( − X , t ) ( ( pag ^ ⋅ α ^ ) + γ 0 metro ) Ψ ′ ( − X , t ) =
= Ψ † ( X , t ) PAG ^ † ( ( pag ^ ⋅ α ^ ) + γ 0 metro ) PAG ^ Ψ ( X , t ) =
= Ψ † ( X , t ) ( − ( pag ^ ⋅ PAG ^ + α ^ PAG ^ ) + PAG ^ † γ 0 PAG ^ metro ) Ψ ( X , t ) =
= Ψ † ( X , t ) ( ( pag ^ ⋅ α ^ ) + γ 0 metro ) Ψ ( X , t ) ⇒
tu ^ † α ^ tu ^ = − α ^ , tu ^ † γ 0 tu ^ = γ 0 ⇒ tu ^ † γ m tu ^ = γ m , ( 1 )

por lo que su igualdad es posible sólo en una forma de ( 1 ) ( PAG ^ † coincidir formalmente con PAG ^ ).

En la primera línea escribo la expresión para la densidad de energía después de la transformación de la función de estado ( Ψ → Ψ ′ ). En el segundo he usado las expresiones Ψ ′ = PAG ^ Ψ , Ψ ′ + = Ψ + PAG ^ + ; en la tercera me he movido PAG ^ † Derecha y PAG ^ dejado en ( PAG ^ † actúa sobre pag ^ cambiando solo su signo) y después de eso tengo formas bilineales PAG ^ + α ^ PAG ^ , PAG ^ + γ 0 PAG ^ . Finalmente, he equiparado este resultado a la energía sin inversión, porque la energía no cambia (por su significado físico) bajo inversión espacial y tengo ( 2 ) igualando las expresiones correspondientes de la última línea y de la anterior: − ( pag ^ ⋅ PAG ^ + α ^ PAG ^ ) a ( pag ^ ⋅ α ^ ) etc.

La última consecuencia se puede obtener de la siguiente manera:

tu ^ † γ 0 tu ^ = γ 0 ⇒ tu ^ † α ^ tu ^ = tu ^ † γ 0 γ tu ^ = γ 0 tu ^ † γ tu ^ = − γ 0 γ ⇒
tu ^ † γ 0 tu ^ = γ 0 , tu ^ † γ tu ^ = − γ .

¿Puedes hacer en detalle todos los pasos? Además, no entiendo la última línea.
@Rexcirus: he arreglado mi respuesta.
Gracias por la edición. De todos modos, ¿por qué en el primer paso es pag y no − pag ? ¿Por qué solo han cambiado los espinores? Si − pag es correcto, entonces tu α tu = α y finalmente tu γ m tu = γ m . Del argumento de la bilineal de Dirac espero que esta fórmula sea válida, y no la que tiene γ m en el lado derecho.
@Rexcirus: asumamos su versión. Escribiste eso para la densidad de algunos operadores. Ψ † A ^ Ψ debe haber reemplazos simultáneos A ^ → A ^ ′ = PAG ^ A ^ PAG ^ † y Ψ → Ψ ′ = PAG ^ Ψ , Ψ † → Ψ † ′ = Ψ † PAG ^ † . Pero después de estos reemplazos, la densidad no cambiará.
Debe haber una de dos transformaciones: 1) transformas las funciones de estado Ψ (entonces el valor Ψ † A ^ Ψ se refiere a la densidad de A ^ en el NUEVO sistema que viene dado por Ψ ′ ), y 2) transformas el operador A ^ expresión.
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