Sobre la formación de una onda electromagnética

Question

Sobre la formación de una onda electromagnética

Swaroop Joshi

Estaba revisando la derivación de la ecuación de ondas electromagnéticas y obtuve estas ecuaciones

m ϵ \frac{\partial^{2} mi}{\partial t^{2}} = \nabla \times (\frac{\partial B}{\partial t}) = - \nabla \times (\nabla \times mi) = \nabla^{2} mi

$\mu\epsilon \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} = \mathbf{\nabla}\times\left(\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right) = - \mathbf{\nabla}\times(\mathbf{\nabla}\times\mathbf{E}) = \mathbf{\nabla}^2\mathbf{E}$

Entonces, traté de visualizar esto físicamente imaginando esta situación. Para $\frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}$ para existir, tiene que haber una aceleración de una carga. Una vez que la carga se acelera, hay un cambio en el campo magnético. $\mathbf{\nabla}\times\left(\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}\right)$ (si la carga no se acelerara, solo habría un campo magnético constante). Dado que el campo magnético cambia, produce un campo eléctrico en la dirección opuesta (Para oponerse al cambio en el flujo del campo magnético). Esto nuevamente provoca un cambio en el campo magnético y el campo eléctrico aumenta nuevamente en la dirección opuesta.

¿Es correcto pensarlo de esa manera, para obtener una onda electromagnética?

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hyportnex · Answer 1

Lo que hay que entender son las llamadas pero erróneamente "Ecuaciones de Jefimenko" [2] pero por la forma en que fueron escritas por McDonald [1], ver allí sus ecuaciones (4) y (5) en unidades gaussianas y repetidas aquí en Unidades MKS-SI (ecuaciones similares, ecuaciones 14-33 y 14-36 se desarrollan en [3]):

B = \frac{m_{0}}{4 π} \int \frac{[j] \times \hat{norte}}{R^{2}} d X^{'} + \frac{m_{0}}{4 π} \frac{1}{C} \int \frac{([\dot{j}] \times \hat{norte})}{R} d X^{'} mi = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \int \frac{[ρ] \hat{norte}}{R^{2}} d X^{'} + \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{C} \int \frac{([j] \cdot \hat{norte}) \hat{norte} + ([j] \times \hat{norte}) \times \hat{norte}}{R^{2}} d X^{'} + \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{C^{2}} \int \frac{([\dot{j}] \times \hat{norte}) \times \hat{norte}}{R} d X^{'}

$\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{ [\mathbf J] \times \hat {\mathbf{n}} }{R^2} d\mathbf{x}' + \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{c}\int \frac{ ([\mathbf {\dot J}] \times \hat {\mathbf{n}})}{R} d\mathbf{x}'\\ \mathbf{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{[\rho]\hat {\mathbf{n}}}{R^2}d\mathbf{x}' + \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{c}\int \frac{ ([\mathbf J] \cdot \hat {\mathbf{n}}) \hat {\mathbf{n}} + ([\mathbf J] \times \hat {\mathbf{n}})\times \hat {\mathbf{n}} }{R^2} d\mathbf{x}'\\ +\frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{1}{c^2}\int \frac{ ([\mathbf {\dot J}] \times \hat {\mathbf{n}})\times \hat {\mathbf{n}} }{R} d\mathbf{x}'$

los paréntesis $[]$ significan tiempos retrasados, $\mathbf R =\mathbf x -\mathbf x'$ , $\hat{\mathbf{n}}=\mathbf{R}/R$ y $\mathbf{\dot J}=\partial \mathbf{J}/\partial t$ . Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell en materia homogénea. El último término en las ecuaciones B y E depende como $1/R$ mostrando explícitamente la radiación inducida por la corriente variable en el tiempo $\mathbf{\dot J}$ en el campo lejano, los llamados términos de radiación.

Observe cómo la transversalidad de la onda radiada se muestra explícitamente por

B \sim [\dot{j}] \times \hat{norte} mi \sim ([\dot{j}] \times \hat{norte}) \times \hat{norte}

$\mathbf B \sim [\mathbf {\dot J}] \times \hat {\mathbf{n}}\\ \mathbf E \sim ([\mathbf {\dot J}] \times \hat {\mathbf{n}})\times \hat {\mathbf{n}}$ eso es

B, E, \hat{n}

$\mathbf B , \mathbf E , \hat {\mathbf n}$ son ortogonales entre sí y a la dirección de propagación en el campo lejano.

[1] McDonald: "La relación entre las expresiones para campos electromagnéticos dependientes del tiempo dadas por Jefimenko y por Panofsky y Phillips", Am. J. física. 65 (11), noviembre de 1997

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Jefimenko%27s_ecuaciones

[3] Panofsky, Phillips: Classical Electricity and Magnetism, 2ª edición, 1962

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Swaroop Joshi

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hyportnex

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