Manipulación de factores de momento en integrales de Feynman (resuelto)

Question

Manipulación de factores de momento en integrales de Feynman (resuelto)

Física
integración
Feynman-diagramas

JPC

Mi comprensión actual : considere un gráfico de Feynman sin masa con propagadores de la forma $1/p^2$ y algunos factores de impulso en el numerador. Ahora considere un vértice, que por simplicidad de notación se supone que es trivalente. Por conservación del momento podemos escribir los momentos de los tres propagadores que están unidos a este vértice como $p_1,p_2,-p_1-p_2$ . por un factor $p^\mu_1$ en el numerador soy libre de escribirlo como

{pag}_{1}^{m} = - (- {pag}_{1} - {pag}_{2})^{m} - {pag}_{2}^{m},

$p^\mu_1=-(-p_1-p_2)^\mu-p^\mu_2,$ es decir, puedo cambiar el factor de impulso de una de las piernas a las otras dos. Esta es también una de las características esenciales de IBP que muchos programas usan para reescribir los diagramas de Feynman en una base.

Mi problema : he usado esta relación extensamente y en muchos casos funciona. Pero encontré algunos casos en los que esto no parece dar el resultado correcto y no entiendo por qué falla. ¿Hay alguna sutileza en el principio general que me estoy perdiendo?

Ejemplo : El caso más fácil que he encontrado es el siguiente. Considere la topología (llamada FA en el manual de Mincer )

y definir una integral de Feynman con un numerador dependiendo de los momentos

I (norte ({PAG}_{i}, q)) = \int \frac{d^{d} k_{1}}{(2 π)^{d}} \int \frac{d^{d} k_{2}}{(2 π)^{d}} \int \frac{d^{d} k_{3}}{(2 π)^{d}} \frac{norte ({PAG}_{i}, q)}{\prod_{i = 1}^{7} {PAG}_{i}^{2}}

$I(N(P_i,Q))=\int\frac{\mathrm{d}^d k_1}{(2\pi)^{d}}\int\frac{\mathrm{d}^d k_2}{(2\pi)^{d}}\int\frac{\mathrm{d}^d k_3}{(2\pi)^{d}} \frac{N(P_i,Q)}{\prod_{i=1}^7 P_i^2}$ con alguna elección de momento de bucle

k_{i}

$k_i$ . en particular desde

P_{2} = P_{1} + P_{6}

$P_2=P_1+P_6$ debería ser posible escribir

I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{2}) = I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{6}) + I ({PAG}_{1}^{2})

$I(P_1 \cdot P_2)=I(P_1 \cdot P_6)+I(P_1^2)$ sin embargo, este no es el caso como muestra una prueba con Mincer . Traté de generalizar esto a

I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{2}) = a I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{6}) + b I ({PAG}_{1}^{2})

$I(P_1 \cdot P_2)=a\, I(P_1 \cdot P_6)+b\, I(P_1^2)$ para algunos coeficientes racionales

a, b

$a,b$ , pero esto tampoco tiene solución.

Para completar aquí están los $\epsilon$ -expansiones para las respectivas integrales

I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{2}) = \frac{1}{6 ϵ^{2}} + \frac{3}{2 ϵ} + \frac{49}{6} + O (ϵ)

$I(P_1 \cdot P_2)=\frac{1}{6 \epsilon ^2}+\frac{3}{2 \epsilon }+\frac{49}{6}+\mathcal{O}(\epsilon)$

I ({PAG}_{1} \cdot {PAG}_{6}) = - \frac{1}{4 ϵ^{3}} - \frac{25}{12 ϵ^{2}} - \frac{47}{4 ϵ} - \frac{673}{12} + \frac{41 ζ_{3}}{4} + O (ϵ)

$I(P_1 \cdot P_6)=-\frac{1}{4 \epsilon ^3}-\frac{25}{12 \epsilon ^2}-\frac{47}{4 \epsilon }-\frac{673}{12}+\frac{41 \zeta _3}{4}+\mathcal{O}(\epsilon)$

I ({PAG}_{1}^{2}) = \frac{1}{6 ϵ^{3}} + \frac{3}{2 ϵ^{2}} + \frac{55}{6 ϵ} + \frac{95}{2} - \frac{53 ζ_{3}}{6} + O (ϵ)

$I(P_1^2)=\frac{1}{6 \epsilon ^3}+\frac{3}{2 \epsilon ^2}+\frac{55}{6 \epsilon }+\frac{95}{2}-\frac{53 \zeta _3}{6}+\mathcal{O}(\epsilon)$

octonión

¿Ve el mismo problema en un diagrama de Feynman más simple que puede hacer usted mismo sin depender de un programa?

JPC

No, desafortunadamente, no he encontrado un ejemplo más fácil. Todos los diagramas de uno y dos bucles que he visto funcionan como se esperaba. En tres bucles tengo que confiar en un programa debido a la complejidad del cálculo.

qmecanico

Sugerencia: Considere enviar la solución como una publicación de respuesta en lugar de como parte de la publicación de preguntas.

JPC

OK hecho. No sabía si poner esto como respuesta sería un poco barato.

Respuestas (1)

Manipulación de factores de momento en integrales de Feynman (resuelto)

¿Ve el mismo problema en un diagrama de Feynman más simple que puede hacer usted mismo sin depender de un programa?
No, desafortunadamente, no he encontrado un ejemplo más fácil. Todos los diagramas de uno y dos bucles que he visto funcionan como se esperaba. En tres bucles tengo que confiar en un programa debido a la complejidad del cálculo.
Sugerencia: Considere enviar la solución como una publicación de respuesta en lugar de como parte de la publicación de preguntas.
OK hecho. No sabía si poner esto como respuesta sería un poco barato.

JPC · Answer 1

Resulta que todo el problema se originó por el hecho de que utilicé una versión anterior de Mincer, que genera polos espurios. El razonamiento es correcto y con una versión más nueva del programa, que trabaja con funciones racionales en lugar de expansiones de potencia en ϵ, este problema desaparece.

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