¿De dónde viene la fuerza eléctrica si un electrón no tiene una ubicación definida?

Tenga en cuenta que el problema que plantea no es realista. Si en un momento determinado B está en un estado propio de posición,$\delta (\vec r)$, en un tiempo extremadamente corto después de , B puede estar en cualquier parte del universo con la misma probabilidad. Verá el efecto de esto, a continuación.

Pero primero calculemos la fuerza.$<\vec F>$. En QM, la influencia entre A y B es la siguiente: sea$\psi_A(\vec r)$Sea la función de onda del electrón A, donde el vector$\vec r$conecta A, dondequiera que esté A, con B.

Entonces la fuerza de interacción es

$\vec F(\vec r) = -\frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |r|^2}$.

La fuerza promedio entre los dos electrones es

$<\vec F> = \int d\vec r \int d\vec r' \psi_A^* (\vec r)\delta (\vec r') \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3} \psi_A (\vec r) \delta (\vec r')$.

$=\int d\vec r d\vec r' \delta (0) |\psi_A (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2} = \delta (0)\int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 \vec r}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^2}$

Entonces, tenemos un problema porque la función$\delta (\vec r')$tiene norma infinita. Por otro lado, si$\psi_A$es esféricamente simétrica, se obtiene$<\vec F> = 0$. Para el caso de que$\psi_A$no es esféricamente simétrica, tenemos que reemplazar la función de onda de B por otra función, llamémosla$\psi_B (r')$, altamente localizado alrededor del punto$\vec r' = 0$, pero normalizado. En ese caso

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r - \vec r')}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r - \vec r'|^3}$,

y desde$\psi_B (r')$está muy localizada alrededor$\vec r' = 0$podemos aproximar,

$<\vec F>=\int d\vec r d\vec r' |\psi^* _B (\vec r')|^2 |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3} = \int d\vec r |\psi_A^* (\vec r)|^2 \frac {e^2 (\vec r)}{4 \pi \epsilon_0 |\vec r|^3}$.

Ahora vuelvo al siguiente momento después de la localización. La función$\psi_B (\vec r')$será prácticamente cero, en todas partes. Entonces, en la penúltima ecuación obtendremos$<\vec F> = 0$.

Si su partícula cargada no está en un estado propio de posición, siempre puede escribir la posición como una superposición de estados propios posicionales. Por lo tanto, tendría una superposición cuántica de fuerzas en una partícula de prueba (ponderada por las amplitudes de probabilidad).

Por ejemplo, suponga que tiene una partícula negativa que inicialmente tiene la función de onda

$$\psi^- = \delta(0),$$ es decir, está en el estado de posición definida ubicado en el origen. Ahora suponga que tiene otra carga positiva en el estado de superposición $$\psi^+ = \left(\delta(-x) + \delta(+x)\right)/\sqrt{2}.$$ Ahora, poco tiempo después, ambas partículas se dispersarán un poco, pero la partícula negativa estará en una superposición de movimiento hacia la izquierda y hacia la derecha, es decir $$\psi^-\approx\left(\delta(-\Delta x) + \delta(+\Delta x)\right)/\sqrt{2}.$$ Por supuesto, la carga positiva también cambiará de posición (y se extenderá).

Si trazamos esto, las funciones de onda podrían parecerse a la imagen de abajo.

Si intentara medir la posición (de una o ambas partículas), obtendría un colapso de la función de onda y las partículas estarían a la derecha o a la izquierda (con un 50% de probabilidad para cada caso).