Algunos parecen argumentar que gran parte de los Elementos de Euclides es una compilación de conocimientos transmitidos a Euclides por sus predecesores. Por otro lado, algunos atribuyen la demostración, del teorema de Pitágoras en particular, que aparece en los Elementos al propio Euclides. ¿Cómo sabemos que la prueba se debe a Euclides y no a un predecesor? De manera más general, ¿hay algo en los Elementos que sepamos que se origina con Euclides?
No lo sabemos con seguridad, pero la mayoría probablemente no, incluida la demostración del teorema de Pitágoras. Lambek resume el consenso actual sobre la prioridad de los resultados en los Elementos de Euclides en The Heritage of Thales :
Ninguno de los teoremas contenidos en los 13 libros puede atribuirse con certeza al propio Euclides. Se cree que los pitagóricos, incluido Arquitas, fueron responsables de gran parte de lo que aparece en los libros I, II, VI, VII, VIII, IX y XI y que Hipócrates estuvo detrás de los Libros III y IV. Por los Libros V y XII debemos agradecer a Eudoxo, y se dice que los Libros X y XIII están basados en el trabajo de Teeteto. Sin embargo, la organización lógica de los Elementos es sin duda la contribución de Euclides. . "
Sabemos por Proclo (que cita el estudio histórico de Eudemo) que varios autores escribieron Elementos antes de Euclides. Desafortunadamente, no es muy informativo en cuanto a su contenido. Hipócrates de Quíos fue el primero, luego León " pudo compilar un libro de elementos más cuidadosamente diseñado para tener en cuenta el número de proposiciones y su utilidad ", luego Eudoxo de Cnido " fue el primero en aumentar el número de las proposiciones". -llamados teoremas generales ”, luego Teudio de Magnesia “ produjo una disposición admirable de los elementos e hizo muchos teoremas parciales más generales ”, luego Hermótimo de Colofón “ descubrió muchas proposiciones en los elementos ”, y así sucesivamente. Finalmente, " vino Euclides,". Esto confirma la atribución de organización lógica a Euclides.
Las especulaciones sobre la prioridad de Euclides, o la falta de ella, tienen una historia venerable, pero siempre hubo poca base firme en evidencia para ellas. Por ejemplo, es visible en el texto que el autor se esfuerza por evitar el uso de la congruencia, lo que lleva a la proliferación de triángulos auxiliares en las demostraciones. La prueba de la silla de la novia del teorema de Pitágoras I.47 es una ilustración particularmente vívida. Presumiblemente, esto tiene algo que ver con las dudas de Parménides y Platón sobre el uso del movimiento en la "verdadera ciencia". Pero eso no significa que el esfuerzo se deba a Euclides, varios autores anteriores de Elementos fueron estudiantes y/o asociados de Platón, incluidos León, Eudoxo y Teudio.
Euclid también evita usar el postulado paralelo en la medida de lo posible en el libro 1. Esta es probablemente nuestra mejor apuesta para atribuir un grupo de resultados al mismo Euclid, pero se puede ver cuán escasa es la base en el comentario de Heath :
Aunque Aristóteles da una idea clara de lo que entendía por postulado, no da ningún ejemplo de la geometría, y menos tiene alguna alusión recordando los postulados particulares encontrados en Euclides. Naturalmente, inferimos que la formulación de estos postulados fue del propio Euclides. Hay una indicación más positiva de la originalidad del Postulado 5, ya que en el pasaje (Anal.pnor. II: 16, 65 a 4) citado más arriba en la nota sobre la definición de los paralelos alude a algunos petitio principii involucrados en la teoría de los paralelos vigente en su época ” .
"Naturalmente". Los mencionados Theudius y Hermotimus fueron contemporáneos de Aristóteles.
Los eruditos modernos de las décadas posteriores estudiaron extensamente el texto y la estructura deductiva de los Elementos. Aparte de lo anterior, en los libros 1-4 Euclides evita usar proporciones. Presumiblemente, porque el tratamiento de Eudoxian de ellos es muy no elemental, y el tratamiento pitagórico elemental se basó en la conmensurabilidad y fue lógicamente defectuoso. Este bloque se denomina "Elementos libres de proporción" y es probable que sea anterior a Euclides. El teorema de Pitágoras y la aplicación de áreas del libro 2 son fundamentales para evitar esto, al igual que los triángulos auxiliares lo son para evitar la congruencia. Pero identificar a los contribuyentes individuales y sus contribuciones sigue siendo muy circunstancial y especulativo. Artmann en los Elementos de Euclides y su Prehistoriaespecula que se debe a Theudius, pero admite que sus argumentos "no son concluyentes":
Debido a que Euclides define proporciones y estudia sus propiedades por primera vez en el Libro V, no puede usar proporciones en los primeros cuatro libros. Sin embargo, estos libros incluyen algunos teoremas con demostraciones curiosamente complicadas, que podrían probarse mucho más simplemente usando proporciones. la inspección revela una forma estándar de transformar afirmaciones sobre proporciones en afirmaciones sobre áreas usando VI.16... Una inteligente combinación de II.5 o 6 con el teorema de Pitágoras da el resultado deseado sin invocar la proporcionalidad.
En Artmann (1985) presento un estudio detallado de los Libros I-IV, basado en las investigaciones de Neuenschwander (1972) y Mueller (1981). Las observaciones lógicas y estilísticas confirman la conclusión de que, esencialmente, los Libros I - IV de Euclides son los 'Elementos Libres de Proporción' mencionados por Proclo. Sin embargo, estos Elementos probablemente fueron alterados en al menos dos formas antes de ser incorporados en el trabajo de Euclides. El primero es la adición de la teoría de los paralelos y las consiguientes modificaciones del comienzo del Libro I. El segundo es el tratamiento de los paralelogramos, también en el Libro I. En Artmann (1985) identifiqué tentativamente a Teudio como el autor de la 'Proporción'. Free Elements', pero los argumentos a favor de esta identificación no son concluyentes. Quienquiera que haya sido el autor de los 'Elementos Libres de Proporción', su objetivo era llegar lo más lejos posible en la geometría sin proporciones. No hay razón para pensar que añadió nuevos teoremas; simplemente dio nuevas pruebas para resultados conocidos. Que esto no fue un logro menor se puede ver, por ejemplo, en 111.35 o en la construcción del pentágono regular en IV.10 y II.27."
Desafortunadamente, Über voreuklidische „Elemente“, deren Autor Proportionen vermied (1985) de Artmann y Die ersten vier Bücher der Elemente Euklids (1972) de Neuenschwander no están traducidos del alemán. La Filosofía de las Matemáticas y la Estructura Deductiva de Mueller en los Elementos de Euclides (1981) también es un clásico.
Conifold
gerald edgar
Mauro ALLEGRANZA