Esta es una pregunta que hice en Maths SE, y me sugirieron que la hiciera aquí. Esta es una copia directa de esa pregunta .
He estado leyendo el excelente Visual Complex Analysis de Tristan Needham. El final del libro trata casi por completo de la física, utilizando simetrías de mapeos conformes para generalizar el famoso método de técnica de imágenes en electrodinámica. El método de imágenes se usa para encontrar el campo eléctrico debido a una carga cuando una superficie conectada a tierra (como una esfera o un plano) está cerca. (Véase, por ejemplo, Wikipedia ).
Sin embargo, los problemas parecen tener muy pocas aplicaciones en la "vida real" para mí, siendo el problema principal que el plano complejo es bidimensional, mientras que nosotros vivimos en un mundo tridimensional.
Para ver este problema en concreto, la fuerza electrostática es así porque el área de superficie de una bola de radio centrado en la carga es proporcional a . Sin embargo, dado que el plano complejo es bidimensional, una carga en el plano complejo produce un campo que va como . Así que cualquier solución que encontremos a un problema de este tipo en el plano complejo no es relevante en 3d.
Y esta es mi pregunta, ¿hay alguna aplicación física de esta técnica? ¿O es completamente irrelevante?
Si y no.
Como escribió Muphrid en math.se, los problemas 2D en la "vida real" son realmente problemas 3D en los que se ha ignorado una dimensión porque el sistema tiene simetría traslacional a lo largo de ella. Por lo tanto, una carga de un solo punto en 2D corresponde a una carga de línea infinitamente larga en tres dimensiones, que de hecho tiene una escala de fuerza como .
Este es un sistema físico muy útil y su comprensión se ve facilitada en gran medida por el uso de análisis complejos. Sin embargo, tiene el inconveniente muy real de que no es un sistema físico real: las varillas infinitamente largas son difíciles de encontrar en los armarios de laboratorio. Como tal, todos los problemas 2D solo pueden ser aproximaciones a un sistema 3D donde las variaciones a lo largo de la tercera dimensión son en escalas de longitud mucho mayores que las otras dos, y no es irrazonable preguntar eso.
Lo mismo se aplica a las simulaciones de dinámica de fluidos en 2D: si el ala de un avión es larga, es razonable modelarlo como un flujo en 2D sobre su sección transversal, especialmente si nos permitirá comprender bien la física. Si bien el modelo 2D nunca puede ser una representación muy exacta de los sistemas reales, excepto quizás para experimentos de túnel de viento muy restringidos, la información física que obtenemos de él puede transportarse muy a menudo a situaciones mucho más complejas.
joshfísica