La respuesta de Jonas muestra una forma en la que los números complejos son útiles para representar cantidades sinusoidales que varían con el tiempo. La cantidad$e^{i\,(\omega\,t + \delta)}$cuando reemplaza$\cos(\omega\,t+\delta)$en una ecuación lineal (o$\sin(\omega\,t+\delta)$si uno "favorece la parte imaginaria" en palabras de Jonas) se llama fasor . El método fasorial se aplica ampliamente en toda la física, no solo a los campos eléctricos.

Sin embargo, en el caso particular de las ecuaciones de Maxwell, hay una forma radicalmente diferente de traer equivalentes complejos del campo electromagnético que tiene una interpretación ordenada en términos de polarización. En la práctica, termina usándose de una manera muy parecida al método fasorial, aunque su conexión a tierra es completamente diferente.

Esta es la idea de diagonalizar las ecuaciones rotacionales de Maxwell (leyes de Faraday y Ampère) con los campos de Riemann-Silberstein que son:

$$\vec{F}_\pm = \sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E} \pm i\,\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}\quad\quad\tag 1$$

y que desacoplan las ecuaciones de rotacional de Maxwell en la siguiente forma:

$$i\, \partial_t \vec{F}_\pm = \pm c\,\nabla \wedge \vec{F}_\pm\quad\quad\tag2$$

Tenga en cuenta que al tomar la divergencia de ambos lados de (2) obtenemos$i\, \partial_t \vec{F}_\pm =0$, de modo que si los campos varían en el tiempo y no tienen un componente de CC (frecuencia cero) ( es decir , $\partial_t$es invertible), (2) también implica las leyes de Gauss$\nabla\cdot\vec{F}_\pm=0$también.

Ahora uno podría simplemente sentarse con campos eléctricos y magnéticos reales y solo necesitaría un vector complejo de Riemann-Silberstein (cualquiera de los dos).$\vec{F}_\pm$funcionará tan bien como el otro) para estar en lugar de dos campos reales y luego las ecuaciones rotacionales de valor real se reemplazan por una de valor complejo. Entonces uno interpretaría la parte real como el campo$\sqrt{\epsilon_0} \,\vec{E}$y la parte imaginaria como$\pm\sqrt{\mu_0} \,\vec{H}$(dependiendo de si$\vec{F}_\pm$fueron utilizados) al final del cálculo.

Sin embargo, resulta ser más significativo desde el punto de vista físico mantener ambos vectores, pero descartar sus partes de frecuencia negativa y mantener solo las partes de frecuencia positiva de ambos vectores. Lo realmente interesante de este segundo enfoque es que si la luz está polarizada circularmente a la derecha, solo$\vec{F}_+$es distinto de cero; si se deja, solo$\vec{F}_-$es distinto de cero. Así que las partes de frecuencia positiva de los campos electromagnéticos se desacoplan precisamente dividiéndolas en componentes polarizados circularmente a la izquierda y a la derecha .

Ahora, para restaurar la parte de frecuencia negativa de un campo solo a partir de la parte de frecuencia positiva, se agrega el conjugado complejo, es decir , todavía estamos tomando efectivamente la parte real de la$\vec{F}_\pm$campos al final del cálculo, por lo que los aspectos prácticos son más bien como el método fasorial. Pero ahora tomamos:

$$\begin{array}{lcl} \vec{E} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ + \vec{F}_-}{2\,\epsilon_0}\right)\\ \vec{H} &=&\operatorname{Re}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,i\,\,\mu_0}\right)=\operatorname{Im}\left(\frac{\vec{F}_+ - \vec{F}_-}{2\,\mu_0}\right) \end{array} \tag 3$$

para obtener nuestros campos "físicos" al final del cálculo. Pero, dada la interpretación física, manifiestamente covariante de Lorentz, de los vectores de Riemann-Silberstein de los que hablo a continuación (ver "material más avanzado" a continuación), uno podría decir que$\vec{F}_\pm$son los campos físicos (aunque no son lo que mediría con un voltímetro o magnetómetro vectorial). En este marco de pensamiento, el hecho de que una cantidad sea real o imaginaria tiene un significado geométrico , ya sea bivector o un dual de Hodge en el álgebra de Clifford.$C\ell_3(\mathbb{R})$donde el ahora "spinor"$\mathbf{F}_\pm$vivir y la entidad$i$es ahora la unidad pseudoescalar en este álgebra. Los bivectores y sus duales de Hodge se mezclan y transforman de manera diferente bajo la transformación de Lorentz (8), por lo que, si lo desea, puede tomar muy bien esta diferencia como el significado de las partes reales e imaginarias.

Por último, dado que ahora (2) se limita a dos ecuaciones en frecuencia positiva (por lo tanto, energía positiva), ahora podemos interpretar (2) como la evolución temporal, es decir , la ecuación de Schrödinger para el estado cuántico de un primer fotón cuantificado. Ver:

• I. Bialynicki-Birula, "Función de onda de fotones" en Progress in Optics 36 V (1996), págs. 245-294, también descargable desde arXiv:quant-ph/0508202 *

para más detalles.

---

Material más avanzado

Los vectores de Riemann-Silbertein son en realidad el tensor electromagnético (Maxwell)$F^{\mu\nu}$disfrazada. Podemos escribir las ecuaciones de Maxwell en forma de cuaterniones:

$$\begin{array}{lcl} \left(c^{-1}\partial_t + \sigma_1 \partial_x + \sigma_2 \partial_y + \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_+ &=& {\bf 0}\\ \left(c^{-1}\partial_t - \sigma_1 \partial_x - \sigma_2 \partial_y - \sigma_3 \partial_z\right) \,\mathbf{F}_- &=& {\bf 0}\end{array}\tag 4$$

donde$\sigma_j$son las matrices de espín de Pauli y las componentes del campo electromagnético son:

$$\begin{array}{lcl}\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0}}\mathbf{F}_\pm &=& \left(\begin{array}{cc}E_z & E_x - i E_y\\E_x + i E_y & -E_z\end{array}\right) \pm i \,c\,\left(\begin{array}{cc}B_z & B_x - i B_y\\B_x + i B_y & -B_z\end{array}\right)\\ & =& E_x \sigma_1 + E_y \sigma_2+E_z\sigma_3 + i\,c\,\left(B_x \sigma_1 + B_y \sigma_2+B_z\sigma_3\right)\end{array}\tag 5$$

Las matrices de espín de Pauli son simplemente unidades de cuaterniones imaginarias de Hamilton reordenadas y donde$i=\sigma_1\,\sigma_2\,\sigma_3$así que eso$i^2 = -1$. Cuando los marcos de referencia inerciales se desplazan mediante una transformación de Lorentz adecuada:

$$L = \exp\left(\frac{1}{2}W\right)\tag 6$$

donde:

$$W = \left(\eta^1 + i\theta \chi^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \chi^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \chi^3\right) \sigma_3\tag7$$

codifica el ángulo de rotación de la transformación$\theta$, los cosenos directores de$\chi^j$de sus ejes de rotación y sus rapidezes$\eta^j$, las entidades$\mathbf{F}_\pm$someterse al mapa de espinor:

$${\bf F} \mapsto L {\bf F} L^\dagger\tag 8$$

Aquí, en realidad estamos lidiando con la doble cubierta.$PSL(2,\mathbb{C})$del componente relacionado con la identidad del grupo de Lorentz$SO(3,1)$, por lo que tenemos mapas de espinores que representan transformaciones de Lorentz, al igual que debemos usar mapas de espinores para hacer que un cuaternión imparta su rotación representada en un vector.

En realidad, los campos eléctricos son reales. El uso de exponenciales complejos no tiene otra ventaja que el cálculo conveniente. La interpretación generalmente es que la parte imaginaria se descarta y solo la parte real se toma como, bueno, real. Por supuesto, esto es completamente arbitrario. También se podría favorecer la parte imaginaria y tomarla para representar la física. Esto funciona porque generalmente solo sumamos campos eléctricos o los multiplicamos por escalares ( operaciones lineales ). Si el escalar también es complejo, podemos usarlo para representar cambios de fase, lo que también es algo conveniente. Sin embargo, hay que prestar atención cuando se toman funciones de orden superior de esas cantidades complejas. Por ejemplo, la densidad de energía del campo eléctrico que normalmente sería proporcional a$|\vec E|^2$(donde las barras verticales se refieren a la norma del vector euclidiano en lugar del mod complejo) tiene que ser reemplazado por$(Re(\vec E))^2$.

Otra cosa común es escribir algo como

$\vec E(\vec x,t)=\vec E_0\,(e^{i(k\vec x-\omega t)} + c.c.).$

cc significa complejo conjugado , por lo tanto, tomas el complejo conjugado del primer término y lo sumas de manera que el resultado sea el doble de la parte real. Por lo tanto, en esta notación, el campo eléctrico es real pero aún podemos trabajar con exponenciales complejos y no tenemos que escribir el complejo conjugado.