Derivación rigurosa de la inducción de Faraday

Entonces, tomemos un bucle cerrado que encierra una superficie$S$dentro del fluido y vea cómo cambia el flujo magnético a través de ese bucle a medida que el fluido arrastra el bucle. Durante un intervalo de tiempo$dt$,$S$se mueve una distancia$\vec{v} \cdot dt$y termina como$S'$. El cambio en el flujo es

$$d\Phi=\int_{S'} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t) \cdot d\vec{a} \;$$

Ahora, desde$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0$siempre, podemos integrar$\vec B(t+dt)$sobre la superficie cerrada formada por las tres superficies$-S$,$S'$y$R$(la superficie entre$S$y$S'$) en conjunto, luego use el teorema de la divergencia (este podría ser el "tipo de teorema de Stoke" en el que estaba pensando) para obtener

$$\int_{V} \vec{\nabla} \cdot \vec{B}d^3\vec{r} \; = \int_{S'} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; + \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} = 0\;$$

($V$es el volumen encerrado por las tres superficies). Entonces, nuestra ecuación anterior se convierte en

$$d\Phi=\int_{S} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; - \int_{S} \vec{B}(t) \cdot d\vec{a} \; - \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; = dt\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a} \; - \int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \;$$

El área diferencial$d\vec{a}$es un paralelogramo acotado por un elemento de línea$d\vec{l}$alrededor del bucle$\partial S$y el vector distancia$\vec{v} \cdot dt$, entonces

$$d\vec{a}=d\vec{l} \times \vec{v} \cdot dt$$

Lo que significa que la integración sobre$d\vec{a}$es equivalente a sumar estos elementos de área a medida que nos movemos alrededor del bucle. Es decir, nuestro segundo término se convierte en

$$\int_{R} \vec{B}(t+dt) \cdot d\vec{a} \; = \oint_{\partial S} \vec{B} (t+dt) \cdot (d\vec{l} \times \vec{v} \cdot dt) = dt \oint_{\partial S} \vec{B} (t) \cdot (d\vec{l} \times \vec{v})$$

Donde he tomado una aproximación de primer orden en el último paso. Finalmente, después de algunos arreglos, recuperamos la expresión que estabas pidiendo:

$$\frac{d}{dt}\Phi=\int_{S} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{a}\; + \oint_{\partial S} \vec{B} (t) \cdot (\vec{v} \times d\vec{l})$$

Curiosamente, y ya que preguntaste, el teorema de Alfvén se puede interpretar en términos de curvas materiales, y la ecuación de inducción ideal se puede escribir como una derivada material. Consulte estas notas para obtener más detalles (sección 2.1: Interpretación física de MHD ). Además, observe la semejanza entre el teorema de circulación de Alfvén y el de Kevin en la dinámica de fluidos no viscosos.