Acción del operador de carga en QFT

Tengo una pregunta rápida sobre la acción del operador de carga en la teoría cuántica de campos. Estoy leyendo el libro de Schwartz sobre QFT, y él demuestra las dos siguientes relaciones de conmutación

[ q , ψ ] = − ψ [ q , ψ † ] = ψ † ,
dónde q = ∫ d 3 X ψ † ψ , y ψ es el campo fermiónico cuantificado normal. Luego concluye que esto implica que q cuenta el número de partículas menos antipartículas. No veo cómo esto es cierto. ¡Cualquier ayuda es muy apreciada!

Sé que esto es de hace años, pero ¿sabes el número de página? Estoy tratando de encontrar las pruebas en su libro.

Respuestas (2)

Una respuesta rápida. deberías pensar en ψ † como el operador de creación de una partícula y, a la inversa, puede pensar en ψ como operador de creación de una antipartícula.

Así, dado que la relación de conmutación tiene diferente signo para [ q , ψ ] y [ q , ψ † ] , q contará las partículas como carga positiva y las antipartículas como carga negativa.

El conteo funcionaría así: suponga que tiene estado | ψ ⟩ = ψ † | 0 ⟩ dónde | 0 ⟩ es el vacío (es decir, no hay partículas).

la acción de q en este estado es

q | ψ ⟩ = q ψ † | 0 ⟩ = ( ψ † + ψ † q ) | 0 ⟩ = ψ † | 0 ⟩ = | ψ ⟩

donde suponemos que q aniquila el estado de vacío. De manera similar para un estado de antipartícula | ψ ¯ ⟩ = ψ | 0 ⟩ tenemos

q | ψ ¯ ⟩ = q ψ | 0 ⟩ = ( − ψ + ψ q ) | 0 ⟩ = − ψ | 0 ⟩ = − | ψ ¯ ⟩

Entonces vemos que q tiene valores propios positivos para partículas y valores propios negativos para antipartículas. De este modo q mide la carga total q = norte ψ − norte ψ ¯ .

Otra respuesta rápida. Espero que sea de alguna manera útil. Si uno mira la expansión de Fourier de ψ en términos de momentos, encontrarían una expresión para q en términos de operadores de aniquilación, pero con el signo menos entre ellos. (Y por supuesto un infinito). Entonces, se puede deducir que q en realidad cuenta la diferencia entre el número de partículas y anti-partículas.

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