¿Los cuerpos que caen alguna vez se ralentizan?

He tenido algunas discusiones recientemente sobre los agujeros negros y el tema de los cuerpos que caen y tardan una eternidad en alcanzar el horizonte de eventos. Eso es esencialmente lo que dijo Einstein en su artículo de 1939 sobre un sistema estacionario con simetría esférica que consiste en muchas masas gravitatorias . Dijo que "es fácil demostrar que tanto los rayos de luz como las partículas materiales tardan un tiempo infinitamente largo (medido en "tiempo de coordenadas") para alcanzar el punto r = μ/2 cuando se originan en un punto r > μ/2". .

Ahora, soy un gran admirador de Einstein. Pero parece que hay dos problemas con esto:

  • Una es que Einstein concluyó que los agujeros negros no pueden formarse, pero tenemos buena evidencia de que hay agujeros negros por ahí. El ejemplo obvio es Sagitario A* . Ahí es donde hay algo con una masa de 4,28 millones de veces la del Sol, con un diámetro de menos de 44 millones de kilómetros, y no podemos verlo. Seguramente solo tiene que ser un agujero negro.

  • El otro problema es que los cuerpos que caen no disminuyen la velocidad. Imagina que dejas caer un cuerpo en la elevación A y cae hasta la elevación B. La "fuerza" de la gravedad se relaciona con la primera derivada del potencial gravitatorio. Por lo tanto, cuanto mayor sea la diferencia en la dilatación del tiempo gravitatorio entre las elevaciones A y B, más rápido cae el cuerpo más allá de B. Entonces, si deja caer un cuerpo en la elevación B, cae hasta la elevación C. De nuevo, cuanto mayor sea la diferencia en la dilatación del tiempo gravitacional entre las elevaciones B y C, más rápido cae el cuerpo más allá de C. En un campo gravitatorio típico, la fuerza de gravedad en B es mayor que en A. Por lo tanto, a medida que el cuerpo desciende, la aceleración aumenta al igual que la velocidad de caída.

Imagine una nave espacial gedanken de la que hemos suspendido un cable. Tenemos relojes en diferentes elevaciones, por lo que podemos medir la dilatación del tiempo gravitacional en cada elevación. También podemos liberar cuerpos de prueba en cada elevación y registrar las lecturas del reloj a medida que pasan por otras elevaciones:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Al final del experimento, podemos enrollar el cable y cargar las medidas registradas para determinar cómo se comportaron nuestros cuerpos de prueba. Tengo entendido que siempre encontraremos que la dilatación del tiempo siempre aumenta a medida que descendemos, que el cuerpo que cae siempre acelera hacia abajo y que tanto la aceleración como la velocidad de caída siempre aumentan a medida que el cuerpo desciende. ¿Es esto correcto? ¿O los cuerpos que caen de alguna manera dejan de acelerar? ¿Y los cuerpos que caen alguna vez se ralentizan?

Depende del marco de referencia. Como tú sabes.
Dado que la información no se puede recuperar una vez que ha cruzado el horizonte de eventos, asumo que el punto de recopilación de datos más bajo (reloj C) está fuera del horizonte. Siendo ese el caso, y dado que el observador es local, ¿hay alguna razón por la que el movimiento de los cuerpos de prueba no sea el esperado (es decir, acelerando)?
@chappo: sí, el punto de recolección más bajo está fuera del horizonte de eventos. No creo que haya ninguna razón por la que el movimiento de los cuerpos de prueba no sea el esperado.
@Rob Jeffries: No lo sé. Y hasta donde yo sé, los marcos de referencia no tienen una existencia objetiva, pero todos los observadores estarán de acuerdo en que cuanto más bajo es el reloj, más lento va. Siguiendo tu comentario aquí, te agradecería que respondieras a esta pregunta.
@Chappo si B y C están lo suficientemente cerca del agujero negro, entonces el observador en el barco podría ver que el objeto que cae pasa por C más lentamente de lo que pasa por B. Por otro lado, si le pregunta al observador que cae o compara las velocidades medidas por los observadores en B y C, encontraría que el observador se mueve más rápido en C que en B. No hay una noción absoluta de velocidad.
¿Le importaría al votante negativo y al votante cercano que "no está claro lo que está preguntando" dar más detalles sobre su problema percibido con esta pregunta? Creo que es un cracker, uno que llega directamente al corazón de un problema en la física contemporánea.
@JohnDuffield Me temo que la mayoría de las personas que han estudiado esto confían en que la relatividad es bastante clara y consistente en estos puntos y que no hay dudas, al menos hasta que ingresas a las partes donde la mecánica cuántica comienza a ser significativa, que esto la pregunta no.
@Steve Linton: como dijo Rob, los observadores estacionarios en varias elevaciones dicen que la velocidad del objeto que cae está aumentando. Mientras tanto, Bob, montado en elefante, cruza el horizonte de sucesos en un tiempo propio finito, pero la observadora distante Alice supuestamente ve que el elefante se acerca cada vez más al horizonte de sucesos, disminuyendo la velocidad debido a la dilatación del tiempo GR. Aunque el gradiente en el potencial gravitatorio entre A y B es la razón por la cual el objeto acelera hacia abajo, y la dilatación del tiempo GR en alguna elevación representa el potencial gravitacional en esa ubicación. Definitivamente hay un problema.
@SteveLinton mientras que la dilatación del tiempo siempre ralentiza el reloj a un potencial gravitacional más bajo (no es necesario que sea un agujero negro para que podamos medir esto), por definición, el objeto debe haberse acelerado de B a C. Dado que la aceleración es un aumento en velocidad (distancia en el tiempo), ¿cuánto afecta el tiempo más lento a la velocidad observada? ¿El aumento de la velocidad (debido a la aceleración) no excedería en gran medida el efecto de la dilatación del tiempo?
@chappo la mayoría de las veces sí, pero muy cerca de un agujero negro resulta que no

Respuestas (1)

De acuerdo con la interpretación estándar de la Relatividad General (por ejemplo, como se presenta en "Explorando agujeros negros" por Taylor & Wheeler capítulo 3, o "Agujeros negros, enanas blancas y estrellas de neutrones" por Shapiro & Teukolsky, pp 343-345) entonces sí lo hacen . Pero depende del marco de referencia del observador: no hay una respuesta absoluta.

Según un observador lejos del agujero negro, la tasa de cambio de la coordenada radial con el tiempo (para un objeto que comenzó a caer radialmente hacia adentro lejos de un agujero negro que no gira) viene dada por

d r d t = − ( 1 − r s r ) ( r s r ) 1 / 2
dónde r s es el radio de Schwarzschild y r y t son coordenadas de Schwarzschild.

Si llamamos a esto la velocidad de caída medida por un observador distante, entonces podemos ver por diferenciación que pasa por un máximo en r = 3 r s y eso d r / d t → 0 como r → r s .

Sin embargo, un observador que acompañe a la partícula que cae estaría totalmente en desacuerdo. Para ellos, su velocidad está dada por d r / d τ , la tasa de cambio de r con respecto a la hora de su reloj.

d r d τ = − ( r s r ) 1 / 2
que continúa aumentando hasta y por debajo del horizonte de eventos.

Este último parece admitir la posibilidad de un viaje más rápido que la luz, pero no más que yo (correctamente) diciendo que si viajas a una velocidad cercana a la de la luz puedes llegar a una estrella a 10 años luz de distancia en mucho menos de 10 años. (según lo medido en su reloj).

Finalmente, podríamos tener el punto de vista de observadores estacionarios de "caparazón" a distancias radiales fijas (fuera del horizonte de eventos, porque ningún observador estacionario es posible debajo del horizonte de eventos). Medirían la velocidad de los objetos que caen más allá de ellos para ser

d r s h mi yo yo d τ s h mi yo yo = − ( r s r ) 1 / 2 .
Esto significa que los informes de los observadores estacionarios (que creo que es la esencia de su pregunta) a alturas cada vez más bajas, es que la velocidad del objeto que cae aumenta a medida que cae.

No hay paradoja en estos puntos de vista aparentemente contradictorios. Las mediciones de eventos y fenómenos no locales no están obligadas a concordar en la Relatividad General, donde ni siquiera hay acuerdo sobre lo que significa "ahora" o qué sistema de coordenadas en qué marco de referencia debe usarse en cualquier circunstancia particular.

Gracias por la respuesta Roberto, +1. Simplifiquemos esto permaneciendo fuera del horizonte de eventos. Entonces, los cuerpos que caen aumentan su velocidad según algunos observadores, pero disminuyen la velocidad y se detienen después de r = 3r s según otros. Según Taylor & Wheeler. Eso me suena a paradoja. ¿Seguramente algo anda mal aquí? El cuerpo que cae hace lo que hace, y lo que hace no depende de algún observador. Tengo una gran idea. ¿Por qué no hace una pregunta para señalar esto y luego pregunta si alguien puede resolver esta paradoja?
No pasa nada, diferentes observadores siempre miden velocidades diferentes. Incluso Galileo entendió eso. Todo lo que está mal es el concepto ahora muerto de que la velocidad es una función del objeto en lugar de una función de las coordenadas utilizadas para analizar el objeto.
Todo el mundo estaría de acuerdo en los hechos reales. Por ejemplo, si su observador C tuviera una vara de medir y un reloj, todos podrían estar de acuerdo en que el objeto que cae pasó por el extremo superior de la vara de medir cuando el reloj marcaba 0 y por el extremo inferior cuando marcaba 1. Pero la nave espacial. A, B y C tendrían ideas diferentes sobre cuánto tiempo tardó el reloj en pasar de 0 a 1 y, en consecuencia, qué tan rápido iba el objeto que caía. El observador que cae también podría no estar de acuerdo con la longitud de la vara de medir.
Si subieras a A, B y C después, realmente encontrarías que sus relojes habían registrado diferentes cantidades de tiempo total transcurrido, por lo que esto no es solo una especie de ilusión.
@Steve Linton: solo que no están de acuerdo con los eventos reales. Ver el elefante y el horizonte de sucesos .
@Ken G: Ken está muy equivocado. Un observador dice que el cuerpo que cae disminuye la velocidad y se detiene, el otro dice que cae a través del horizonte de sucesos. Espero que Rob haga una pregunta sobre la paradoja, porque estoy bastante seguro de que la única salida es que ambos observadores estén equivocados . PD: Sabes que soy "el detective de la física", ¿no? Steve Linton, no hay problema con los relojes arrancados.
@JohnDuffield Encontré un resumen del elefante y el horizonte de eventos: el original tiene un muro de pago. Alice y Bob están de acuerdo en los eventos que tienen lugar fuera del horizonte de eventos (a excepción quizás de las correcciones mecánicas cuánticas, que son un problema conocido sin resolver), que parece ser de lo que trata la pregunta. Si sus relojes estuvieran colgados allí, Alice y Bob estarían de acuerdo en lo que cada uno de ellos dijo en el momento en que pasó el elefante. Lo que sucede en y dentro del horizonte de eventos Alice nunca puede saberlo, ya que no le llegará ninguna información al respecto (de nuevo, excepto QM), por lo que ella y Bob nunca pueden reunirse para discutir.
@Steve Linton: tiene derechos de autor, pero aquí hay un extracto de uso justo: “Digamos que Alice está mirando un agujero negro desde una distancia segura, y ve un elefante tontamente dirigiéndose directamente hacia las garras de la gravedad. A medida que continúa observando, verá que se acerca cada vez más al horizonte de sucesos, disminuyendo la velocidad debido a los efectos de la gravedad en la relatividad general que alargan el tiempo... Poco se dio cuenta Alice de que su amigo Bob estaba montado en el lomo del elefante. se lanzó hacia el agujero negro. Sin embargo, cuando Bob cruza el horizonte de sucesos, ni siquiera se da cuenta, gracias a la relatividad..."
@John Duffield No, no hay paradoja, no más que si estoy conduciendo en la carretera, y un automóvil me pasa, y acelero para alcanzarlo, parecerá que disminuyó la velocidad y se detuvo. Está utilizando un lenguaje absoluto en situaciones en las que solo es apropiado un lenguaje relativo. No es nada nuevo generar aparentes paradojas cuando haces eso. Usted y yo hemos encontrado este mismo problema antes. La definición de lenguaje ineficaz es lenguaje que genera inconsistencias lógicas que no existen.
@Ken G: esto no se parece en nada a un automóvil en una carretera. Esto es la caída de cuerpos. Se aceleran hacia abajo dondequiera que haya un gradiente en el potencial gravitacional. Este último está marcado por la dilatación del tiempo en su cadena de relojes. Todo observador está de acuerdo en que los cuerpos que caen están cayendo y que la dilatación del tiempo aumenta a medida que descendemos. Alice lo sabe, Bob lo sabe y Rob lo sabe. Por lo tanto, es bastante más que un lenguaje ineficaz afirmar que en algún punto, donde la pendiente es pronunciada, el descenso se ralentiza y luego se detiene. Sobre todo porque parece que los agujeros negros existen de hecho.
No todos los observadores están de acuerdo en que la dilatación del tiempo aumenta, la dilatación del tiempo es un problema de coordenadas. La única, sí, la única situación en la que el tiempo transcurrido es un observable invariable es cuando es el tiempo propio, es decir, el tiempo registrado en un reloj que está presente en dos eventos, y luego el reloj registra el tiempo propio entre esos eventos a lo largo de ese tiempo. camino que los conecta. Ese es el único y único tipo de intervalo de tiempo que no es una cuestión de coordenadas.
@Ken G: la dilatación del tiempo aumenta con la profundidad. Si no fuera así, no estaría presente un campo gravitatorio, y lo está. Es posible que algún observador no lo note, pero eso no hace que desaparezca. Y en un campo gravitatorio, los observadores caen. Caen cada vez más rápido. No reducen la velocidad y se detienen. Tampoco cruzan el horizonte de sucesos a un ritmo vertiginoso. En cambio, les sucede otra cosa. Haz la pregunta y te diré qué.
¿Los cuerpos que caen alguna vez se ralentizan?
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