¿Una cámara y la dilatación del tiempo?

Si viajo cerca de un agujero negro, mi tiempo avanzaría más lento en relación con alguien en la Tierra. Esto es lo suficientemente claro.

Sí, no hay problema con la dilatación del tiempo gravitacional.

Sin embargo, ¿y si enviáramos una sonda con una cámara a un agujero negro? Cuando miramos la pantalla, ¿veríamos el tiempo a través de la perspectiva de la cámara, es decir, parecería que el Universo progresa más rápido a medida que la sonda se acerca más y más al agujero negro?

No. Veríamos que el universo progresa normalmente, porque no estamos sujetos a esa dilatación del tiempo gravitacional. (Supongo que estamos a una distancia segura). Supongamos que fuera una cámara de televisión que tomara una foto 25 veces por segundo y nos la devolviera, teniendo en cuenta adecuadamente el corrimiento al rojo. La cámara comienza a tomar 25 fotografías por segundo según lo medido por nosotros. Pero después de un tiempo nos damos cuenta de que solo obtenemos 24 imágenes por segundo, luego 23, y así sucesivamente. Vemos eventos en el universo más amplio progresando a su ritmo normal, pero finalmente la película comienza a volverse irregular a medida que se reduce la velocidad de fotogramas. Al final, la velocidad de fotogramas se reduce a cero, y ese es el final del espectáculo.

Para simplificar, digamos que el agujero negro está aislado y no gira (y no está cargado), de modo que la situación se describe mediante el espacio-tiempo comparativamente simple de Schwarzschild. Supongamos también que la cámara cae radialmente en el agujero negro.

¿Qué está mirando la cámara? Supongamos que está mirando algún objeto estacionario que hace algo con una frecuencia conocida. Su pregunta es básicamente cómo a qué frecuencia se observará en el video emitido por la cámara.

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que la cámara nos está mirando y que le estamos apuntando con un rayo láser: el 'hacer algo a una frecuencia conocida' serían las oscilaciones en la onda electromagnética del rayo láser. Podemos hacer esto porque la dilatación del tiempo afecta a todos los procesos físicos, por lo que también podríamos elegir uno en el que sea más conveniente pensar.

En este punto, es sencillo por qué la transmisión de la cámara no mostrará ninguna dilatación del tiempo: al ser equivalente a un rayo láser reflejado, el desplazamiento hacia el azul gravitacional cuando se dirige hacia el interior será cancelado por el desplazamiento hacia el rojo gravitacional hacia el exterior.