Índices punteados y sin puntos de Spinor

Los espinores de Weyl son las representaciones bidimensionales irreducibles del grupo$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$. Una representación es una acción del grupo sobre un espacio vectorial, y para los espinores de Weyl, este espacio vectorial es$\mathbb{C}^2$. Los diferentes tipos corresponden a las diferentes formas en que nuestro grupo$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$puede actuar sobre$\mathbb{C}^2$.

Hay una acción obvia, llamada representación fundamental . En particular, si$N \in \mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$y$v \in \mathbb{C}^2$, entonces simplemente podemos actuar$v \mapsto N v$. De cualquier representación siempre podemos construir la representación conjugada y la representación dual , y también la representación dual conjugada. Así que ahora podemos considerar las siguientes cuatro representaciones:

$$\begin{align} \psi_\alpha &\mapsto N_\alpha{}^\beta \psi_\beta & & \text{fundamental}\\ \psi_\dot{\alpha} &\mapsto N^*{}_\dot{\alpha}{}^\dot{\beta} \psi_\dot{\beta} & & \text{conjugate}\\ \psi^\alpha &\mapsto (N^{-1})_\beta{}^\alpha \psi^\beta & & \text{dual} \\ \psi^\dot{\alpha} &\mapsto (N^{*-1})_\dot{\beta}{}^\dot{\alpha} \psi^\dot{\beta} & & \text{conjugate dual} \end{align}$$ La naturaleza del índice en nuestro vector. $\psi$nos está diciendo en cuál de estas cuatro formas se transforma nuestro vector. La representación dual puede ser familiar de la relatividad general, si consideramos un vector contravariante que se transforma en la fundamental de $\mathrm{GL}(n,\mathbb{R})$, luego un vector covariante se transforma en la representación dual. La representación conjugada puede resultar menos familiar, ya que a menudo trabajamos con espacios vectoriales reales para los que la conjugación compleja no hace nada. Tenga en cuenta que si $v$se transforma en lo fundamental, entonces $v^*$se transforma en el conjugado.

Resulta que estas son todas las formas.$\mathrm{SL}(2,\mathbb{C})$puede actuar sobre$\mathbb{C}^2$. De hecho, resulta que la representación fundamental y la dual son equivalentes ¹ (el sentido exacto en el que esto se entiende se puede encontrar en cualquier libro de teoría de la representación), debido a la existencia del tensor invariante$\epsilon_{\alpha \beta}$. Esto significa que el conjugado y el conjugado dual también son equivalentes, por lo que en realidad solo hay dos representaciones diferentes, que a menudo llamamos espinores de Weyl zurdos y diestros .

¹ _{Tenga en cuenta que "equivalente" no significa "idéntico" aquí. Todavía debemos tener cuidado de distinguir los índices superior e inferior, porque las leyes de transformación no son las mismas: las dos representaciones simplemente tienen la misma esencia .}