¿Cómo construir campos a partir de la representación unitaria del grupo de Poincaré?

Esta respuesta explica cómo construir exactamente el operador de campo para que represente el estado de una partícula. Si su pregunta es sobre el primer principio a partir del cual introducimos de forma natural a los operadores de campo, volveré a escribir una respuesta.

Primero, lea mi respuesta sobre esta pregunta. Aquí agregaré algunos detalles técnicos para el caso más simple: campos que realizan representaciones masivas irreducibles del grupo de Poincaré con espín entero (los otros casos se realizan de manera analógica, pero más difíciles).

Como se afirmó en la respuesta vinculada, la base para obtener ecuaciones de onda relativistas (en principio, esta es exactamente la forma de construir un campo de onda relativista) es ese subespacio de representaciones unitarias masivas del grupo de Poincaré con masa distinta de cero$m$y girar$s$se caracteriza por dos operadores Casimir,

$$\tag 1 \hat{P}_{\mu}\hat{P}^{\mu} = m^{2}\cdot\text{id}, \quad \hat{W}_{\mu}\hat{W}^{\mu} = -m^2s(s+1)\cdot \text{id}$$ Para la representación de campos de creación/destrucción $\hat{P}_{\mu} = i\partial_{\mu}$, y el primer operador es simplemente la ecuación diferencial de Klein-Gordon: $$(\partial^{2}+m^2)\hat{\Phi}_{A}^{\pm} = 0$$ En cuanto a la segunda condición, la forma de construirla en forma de ecuación diferencial es más difícil. Para la forma más conveniente de introducir e, debe buscar las representaciones irreducibles del grupo de Lorentz $(A/2, B/2)$, que se realiza mediante espinores completamente simétricos $\psi_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}}$. Se puede demostrar que el operador de campo correspondiente $\hat{\Psi}^{\pm}_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}}$con $(A+B)/2 = s$realiza una representación masiva de una partícula del grupo de Poincaré (en un sentido de $(1)$) si $$\tag 2 \begin{cases} (\partial^{2} + m^{2})\hat{\Psi}^{\pm}_{a_{1}...a_{A}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{B}} = 0\\ \partial^{a\dot{b}}\hat{\Psi}^{\pm}_{aa_{1}...a_{A-1}\dot{b}...\dot{b}_{B-1}} =0 \end{cases}$$ (como saben, las representaciones unitarias masivas con espín S se caracterizan por la $SO(3)$pequeño grupo, el operador de campo co correspondiente debe tener $2S+1$componente).

Incluso puede demostrarse que las representaciones$(A, B)$y$(A-1,B+1)$son equivalentes, y el operador de equivalencia correspondiente viene dado por el operador$\Delta_{a}^{\ \dot{a}} = \frac{1}{m}\delta_{a}^{\ \dot{a}}$. Por lo tanto, para la representación del estado de una partícula con espín entero$s = 2S$podemos usar convenientemente representaciones$\left( S, S\right)$del grupo de Lorentz, que se puede dar en forma vectorial por el conocido isomorfismo

$$\tag 2 V_{\mu_{1}...\mu_{S}} = \frac{1}{2^{s}}(\sigma_{\mu_{1}})^{a_{1}\dot{b}_{1}}...(\sigma_{\mu_{S}})^{a_{1}\dot{b}_{S}}V_{a_{1}...a_{S}\dot{b}_{1}...\dot{b}_{S}}$$ Con $(3)$, $(2)$se convierte en $$\begin{cases} (\partial^2 + m^2)\hat{\Phi}_{\mu_{1}...\mu_{S}} = 0 \\ \partial^{\mu}\hat{\Phi}_{\mu...\mu_{S-1}} = 0 \\ \hat{\Phi}_{\mu_{1}...\mu_{S}} = \hat{\Phi}_{(\mu_{1}...\mu_{S})} \\ g^{\mu \nu}\hat{\Phi}_{\mu \nu ... \mu_{S-2}} =0 \end{cases}$$ Aquí $(...)$significa simetrización.