¿Cómo demuestro que una sucesión diverge hasta el infinito?

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¿Cómo demuestro que una sucesión diverge hasta el infinito?

limites
análisis
cálculo
Matemáticas
secuencias y series
solución-verificación

eugenio t

Me he estado rascando la cabeza durante un par de días sobre cómo determinar la convergencia/divergencia de secuencias. Lo hice para entender cómo probar que una secuencia converge, pero todavía tengo numerosas dudas sobre la prueba de divergencia.

di que tengo $\lim_{n \to +\infty } \sqrt{n+1} = +\infty$ y tengo que demostrar que la sucesión diverge.

Lo que hice fue usar la definición de secuencia convergente.

$| a_n - L | < \ \varepsilon$

Donde L es un límite teórico (fijo, número real) y $\varepsilon$ también es un número real teórico que limita la secuencia (¿estoy entendiendo esto correctamente?)

Luego, probé la prueba por contradicción haciendo

$-\varepsilon \ < \sqrt{n+1} - L < \varepsilon$

$-\varepsilon + L < \sqrt{n+1} < \varepsilon + L$

$(-\varepsilon + L)^2 - 1 < n < (\varepsilon + L)^2 - 1$

Asumiendo que $\varepsilon$ y L son números reales fijos, siempre podemos obtener un n mayor que cualquier operación realizada entre esos números, contradiciendo así el hecho de que existe un límite.

¿La prueba que he encontrado es válida y suficiente?

Quiero disculparme de antemano con las personas familiarizadas con esto, en caso de que hice un desastre horrible.

lulú

Esto es difícil de seguir. Qué es

L

$L$ en tu ejemplo?

eugenio t

Un número real teórico que sería un límite de la sucesión. Así que básicamente limita.

lulú

Para mostrar que

lim_{n \to \infty} f (n) = \infty

$\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty$ hay que probar que, para todo

M

$M$ , existe

N = N (M)

$N=N(M)$ tal que

n > N ⟹ f (n) > M

$n>N\implies f(n)>M$ . Muy diferente a lo que escribiste.

lulú

Eso no tiene sentido en este contexto. La expresion

| a_{n} - \infty | < ϵ

$|a_n-\infty|<\epsilon$ No tiene sentido.

abiesu

Un enfoque típico es decir que para cada

M

$M$ existe un

n

$n$ tal que

\sqrt{n + 1} > M

$\sqrt {n+1}\gt M$ ...

eugenio t

Eso sería prueba de que una sucesión crece continuamente. Lo demostré contradiciendo la definición de convergencia. ¿O me estoy perdiendo algo y no puedo usar la prueba por contradicción en este caso?

311411

Pude seguir a Eugenio, aunque creo que necesita mejorar. Él está diciendo "Asumir

a_{n} \to L \in R

$a_n \to L \in \mathbb{R}$ "...buscar una contradicción

greg martin

Mi interpretación es que el OP sabe que el límite "es igual a

\infty

$\infty$ y se le pide probar que el límite no existe, es decir, el límite no es igual a ningún número real

L

$L$ . Creo que el argumento es básicamente correcto, aunque podría escribirse un poco más claramente.

lulú

En este caso, una prueba directa es mucho más fácil. Usando mi notación,. dejar

N (M) = M^{2} - 1

$N(M)=M^2-1$ , Por ejemplo.

eugenio t

Sí, lo siento, me perdí eso y no lo escribí en el título. La pregunta que me han dado es "demuestra que diverge a +

\infty

$\infty$

lulú

Sí, eso es lo que pensé que estabas tratando de hacer.

eugenio t

Entonces, ¿básicamente tengo que seguir un enfoque diferente y probar que la secuencia aumenta con cada paso, tendiendo así al infinito? Es muy difícil para mí entender el concepto, es mi primera experiencia aprendiendo límites.

lulú

No, no necesita probar que es estrictamente creciente (aunque eso no es difícil en este caso). Todo lo que necesita mostrar es que, dado cualquier umbral (al que llamé

M

$M$ pero que puedes llamar como quieras), la secuencia finalmente se vuelve mayor que

M

$M$ y se mantiene mayor que

M

$M$ .

lulú

Comience con uno más fácil: Demuestre que

lim_{n \to \infty} n = \infty

$\lim_{n\to \infty}n = \infty$ .

lulú

Debería enfatizarse: no todas las secuencias crecientes divergen para

\infty

$\infty$ . Por ejemplo:

A_{n} = 1 - \frac{1}{n}

$A_n=1-\frac 1n$ es estrictamente creciente y

lim_{n \to \infty} A_{n} = 1

$\lim_{n\to \infty}A_n=1$ .

eugenio t

Sí, lo tengo. Entonces, básicamente, al hacer lo que hice arriba, probé que la secuencia diverge, pero no que diverge hasta el infinito, para hacer lo último, debo asumir que hay un umbral que la secuencia pasa y finalmente permanece por encima.

lulú

Creo que es solo una cuestión de volver a empaquetar lo que escribiste. Dado

L \in R

$L\in \mathbb R$ , vemos eso

n > L^{2} - 1 ⟹ a_{n} > L

$n>L^2-1\implies a_n>L$ . Eso es todo lo que necesitas. Informalmente, eso dice, "para cualquier valor que se me ocurra, la secuencia

a_{n}

$a_n$ eventualmente supera ese valor y se mantiene por encima de ese punto en adelante".

Respuestas (1)

¿Cómo demuestro que una sucesión diverge hasta el infinito?

Un número real teórico que sería un límite de la sucesión. Así que básicamente limita.
Para mostrar que $\lim_{n\to \infty} f(n)=\infty$ hay que probar que, para todo $M$ , existe $N=N(M)$ tal que $n>N\implies f(n)>M$ . Muy diferente a lo que escribiste.
Eso no tiene sentido en este contexto. La expresion $|a_n-\infty|<\epsilon$ No tiene sentido.
Un enfoque típico es decir que para cada $M$ existe un $n$ tal que $\sqrt {n+1}\gt M$ ...
Eso sería prueba de que una sucesión crece continuamente. Lo demostré contradiciendo la definición de convergencia. ¿O me estoy perdiendo algo y no puedo usar la prueba por contradicción en este caso?
Pude seguir a Eugenio, aunque creo que necesita mejorar. Él está diciendo "Asumir $a_n \to L \in \mathbb{R}$ "...buscar una contradicción
Mi interpretación es que el OP sabe que el límite "es igual a $\infty$ y se le pide probar que el límite no existe, es decir, el límite no es igual a ningún número real $L$ . Creo que el argumento es básicamente correcto, aunque podría escribirse un poco más claramente.
En este caso, una prueba directa es mucho más fácil. Usando mi notación,. dejar $N(M)=M^2-1$ , Por ejemplo.
Sí, lo siento, me perdí eso y no lo escribí en el título. La pregunta que me han dado es "demuestra que diverge a + $\infty$
Entonces, ¿básicamente tengo que seguir un enfoque diferente y probar que la secuencia aumenta con cada paso, tendiendo así al infinito? Es muy difícil para mí entender el concepto, es mi primera experiencia aprendiendo límites.
No, no necesita probar que es estrictamente creciente (aunque eso no es difícil en este caso). Todo lo que necesita mostrar es que, dado cualquier umbral (al que llamé $M$ pero que puedes llamar como quieras), la secuencia finalmente se vuelve mayor que $M$ y se mantiene mayor que $M$ .
Comience con uno más fácil: Demuestre que $\lim_{n\to \infty}n = \infty$ .
Debería enfatizarse: no todas las secuencias crecientes divergen para $\infty$ . Por ejemplo: $A_n=1-\frac 1n$ es estrictamente creciente y $\lim_{n\to \infty}A_n=1$ .
Sí, lo tengo. Entonces, básicamente, al hacer lo que hice arriba, probé que la secuencia diverge, pero no que diverge hasta el infinito, para hacer lo último, debo asumir que hay un umbral que la secuencia pasa y finalmente permanece por encima.
Creo que es solo una cuestión de volver a empaquetar lo que escribiste. Dado $L\in \mathbb R$ , vemos eso $n>L^2-1\implies a_n>L$ . Eso es todo lo que necesitas. Informalmente, eso dice, "para cualquier valor que se me ocurra, la secuencia $a_n$ eventualmente supera ese valor y se mantiene por encima de ese punto en adelante".

lee mosher · Answer 1

A menudo hay varias formas de probar algo, y los dos métodos sugeridos en los comentarios son válidos.

Para describir y comparar ambos métodos, permítanme primero revisar la definición de convergencia.

Decir que una secuencia $a_n$ converge significa:

Existe $L \in \mathbb R$ tal que por cada $\epsilon > 0$ existe $N \in \mathbb N$ tal que por cada $n \in \mathbb N$ , si $n \ge N$ entonces $|a_n - L| < 0$ .

Primer método. El método que siguió fue argumento por contradicción : suponga que $a_n = \sqrt{n+1}$ converge y argumenta una contradicción. Como sugirió @GregMartin, su prueba está básicamente bien, pero debería haberla comenzado diciendo explícitamente que está haciendo una prueba por contradicción, y debería haber expresado los pasos lógicos más claramente, algo como esto:

Asumir que $a_n = \sqrt{n+1}$ converge
Aplicando la definición de convergencia, elija $L \in \mathbb R$ como en esa definición.
Por lo tanto, para cada $\epsilon > 0$ sabemos que existe $N \in \mathbb N$ tal que para cada $n \in \mathbb N$ , si $n \ge N$ entonces $|\sqrt{n+1}-L| < \epsilon$ .

Desde este punto, manipulas esa desigualdad final tal como lo hiciste. Luego, al final, estableces muy claramente la contradicción a la que llegas.

Segundo método. Este método tiene dos pasos.

Paso 1: probar que $\sqrt{n+1}$ diverge a $+\infty$ . Para ello hay que aplicar la definición: to say that that $a_n$ diverge a $+\infty$ medio:

Para cada $M > 0$ existe $N \in \mathbb N$ tal que por cada $n \in \mathbb N$ , si $n \ge N$ entonces $a_n \ge M$ .

Paso 2: Demostrar un lema general: si una sucesión $a_n$ diverge a $+\infty$ entonces $a_n$ no converge.

La prueba de este lema general va a ser un argumento por contradicción (algo así como lo que ya hiciste): asumes que $a_n$ converge a algún límite $L$ , y asumes que $a_n$ diverge a $+\infty$ , y luego argumentas una contradicción.

Para comparar estos, el método 2 es más complicado que el método 1, pero el método 2 tiene algunas ventajas importantes: produce más información sobre la secuencia $a_n = \sqrt{n+1}$ ; ¡y demuestras un lema general útil!

Entonces, una pregunta un poco estúpida... Pero en el segundo método, ¿M y N son exactamente qué? ¿Números arbitrarios? Si es así, ¿cuál es el vínculo entre ellos?
Son variables cuantificadas. Ya usaste la variable cuantificada $L$ en tu prueba de que $\sqrt{n+1}$ no converge. También usaste implícitamente la variable cuantificada $N$ , cuando hablaste de "una $n$ mayor que cualquier operación hecha entre esos dos números".
Dominar la expresión clara de las variables cuantificadas y el uso lógico correcto de dichas variables es una de las habilidades que hace que una prueba sea sólida y válida.
Entonces, para ponerlo en términos muy básicos y visualizarlo en un plano cartesiano, $M$ va a ser el límite que se refiere a los puntos en $y$ eje, y $N$ es un límite que se refiere a $x$ ¿eje? ¿Al menos una especie de, solo para captar una vaga comprensión gráfica de todo esto?
Para especificar, no me refiero a poner en el eje, sólo con respecto a la $>$ y $<$ declaraciones
Sí, esa es una buena descripción. La palabra "atado" se usa más comúnmente que "límite", pero la misma idea.

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¿Límite de secuencia, teorema de compresión?

inf(A+B)=infA+infBinf(A+B)=infA+infB\inf{(A+B)}=\inf{A}+\inf{B}: Una prueba de ϵϵ\epsilon

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demuestra que la sucesión está acotada por debajo por 2–√2{\sqrt 2}

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Demostrar que existe una derivada dado el límite de f'

Convergencia de una serie infinita particular

Cuando lim|ak+1/ak|=1lim|ak+1/ak|=1\lim\left| a_{k+1}/a_k \right| =1 en la prueba de razón límite, ¿se sigue que la serie diverge?

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Límite de an=13n+14n−−−−−−√nan=13n+14nna_n = \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}}