Ley relativista de la fuerza de Lorentz

vamos a establecer$c=1$por simplicidad.

Usando sus observaciones, es suficiente para demostrar que (simplemente combine la segunda y la tercera ecuación que anota)

$$\dot \gamma = \vec u \cdot \frac{d}{dt}(\gamma \vec u).$$ Para probar esto, los siguientes hechos son útiles: $$\dot \gamma = \gamma^3\vec u \cdot\dot{\vec u}, \qquad \gamma^2\vec u^2 +1 = \gamma^2.$$ Ahora solo calcula $$\begin{align} \vec u \cdot \frac{d}{dt}(\gamma \vec u) &=\vec u \cdot (\dot \gamma \vec u + \gamma \dot{\vec u}) \\ &=\vec u \cdot (\gamma^3(\vec u \cdot \dot{\vec u})\vec u + \gamma \dot{\vec u}) \\ &= \gamma \vec u \cdot \dot{\vec u}(\gamma^2 \vec u^2 + 1) \\ &= \gamma^3\vec u \cdot\dot {\vec u} \\ &= \dot \gamma \end{align}$$

El LHS de la ecuación a la que está tratando de llegar no es otro que la tasa de cambio en el tiempo de la energía cinética (relativista) una vez que vuelve a agregar la derivada del término constante: mc ^ 2.

El análogo relativista de la relación newtoniana Fuerza-punto-velocidad = tasa de cambio de KE también se cumple. Desde aquí, simplemente sustituye la ley de fuerza y ​​la fórmula deseada resulta como se esperaba.