Transformada de fuerza de Lorentz

No puedes simplemente transformar$d \bf p \rm/dt=q(\bf E + v \wedge B \rm )$, ya que no es una ecuación tensorial. La forma tensorial de esta ecuación es

$$\frac {d p^\mu }{d\tau } = -\frac q mp^\lambda F_\lambda^{\; \mu}$$ La naturaleza tensorial de esta ecuación garantiza que sea válida en cualquier sistema de coordenadas. Volviendo ahora a su pregunta, podemos usar esta ecuación para calcular la fuerza en el sistema de coordenadas que se mueve momentáneamente con la partícula. En este sistema de coordenadas, el cuatro vector de momento $p^\mu$reduce a $(m,0,0,0)$y en consecuencia la ecuación se reduce a $$\frac {d p^\mu }{d\tau } = -q F_0^{\; \mu}.$$ Sustitución de los componentes del tensor de campo EM $F_\lambda ^{\; \mu}$por los componentes de campo eléctrico y magnético correspondientes (¡en el marco momentáneamente comóvil!), obtenemos $$\frac {d p^0 }{d\tau} =0 \\ \frac {d p^i }{d\tau} = q E_i\ \ ,i=1,2,3$$ con $E_i$siendo las tres componentes del campo eléctrico. Esto significa que la partícula se moverá de acuerdo con las leyes clásicas en el marco momentáneamente comóvil, pero, por supuesto, primero debe calcular los componentes del campo eléctrico en este marco. Para hacer esto, conecte su $\bf E$y $\bf B$componentes en su tensor de campo EM $F_\lambda^{\; \mu}$. Transformas el tensor de campo usando la transformación de Lorentz, lo que te permitirá recuperar lo buscado $$E_i = -F_0^{\; i}.$$

La fuerza de Lorentz debe transformarse de la misma manera que otras fuerzas en relatividad especial.

Evitando un tratamiento tensorial, se puede decir que

$${\bf F'} = {\bf F_{\parallel}} + \frac{1}{\gamma}{\bf F_{\perp}},$$ dónde $\gamma$es el factor de Lorentz habitual y los subíndices se refieren a los componentes de la fuerza de Lorentz en el sistema de reposo que son paralelos y perpendiculares a la velocidad relativa entre el sistema de reposo y el sistema en movimiento y el sistema "no imprimado" es el sistema de reposo de la partícula .

Sin embargo, no entiendo tu pregunta. Una partícula que está sujeta a una fuerza constante no se moverá con una velocidad constante excepto en algún momento instantáneo. ¿Debemos suponer que la velocidad surge solo de la aceleración debida al campo eléctrico para que podamos suponer que el campo eléctrico y la velocidad son paralelos? Si es así, puede ver en mi ecuación anterior que la fuerza de Lorentz sobre la partícula no cambia . El razonamiento es que el campo magnético, que debe estar presente en el marco de reposo de la partícula, no ejerce fuerza ya que${\bf v} \times {\bf B}=0$y${\bf E_{\parallel}'}={\bf E_{\parallel}}$. Cualquier componente de la fuerza eléctrica de Lorentz que sea, de hecho, perpendicular a${\bf v}$en el marco cebado se incrementará (en ausencia de un campo magnético en el marco cebado) por un factor de$\gamma$.