¿Hay alguna forma de justificar o derivar la forma de la fuerza de Lorentz de la teoría de la relatividad?

Aunque como cualquier otra física, la ley de la fuerza de Lorentz se mide experimentalmente, uno podría imaginar fácilmente un universo alternativo donde el descubrimiento de la relatividad se produjo antes de la teoría electromagnética (supongamos que Michelson-Morely vivió antes de Faraday, o mire el enfoque ignatowskiano de la relatividad especial , donde la forma de la transformación de Lorentz se argumenta sin referencia alguna a la luz).

En esta historia alternativa, dos físicos teóricos podrían haber estado conversando:

Escena 1: A & B Hablando de Leyes Generales sobre "Carga Eléctrica"

R: Conocemos esta extraña propiedad recientemente descubierta llamada 'carga eléctrica'. ¿Qué tipo de leyes gobernarían su movimiento?

B: Bueno, he visto una carga bastante quieta en el laboratorio o moviéndose uniformemente, por lo que es claramente posible que no haya efecto eléctrico. Postulemos algún campo electromagnético$F(\vec{X}, \vec{V},\,\cdots)$..."

R: Por supuesto, todos deben ser cuatro vectores, o al menos algo para hacer que la ley de Lorentz sea covariante ...

B: Por supuesto, tonto, solo te estaba probando. De todos modos, si$F$a primer orden fueran lineales, la ley tendría que ser homogénea...

A: .... y podrías deshacerte de$\vec{X}$porque, en ausencia de otras cargas, la fuerza no depende de la posición...

B: Por supuesto: también te estaba probando en eso ... de todos modos, ¿así que estamos de acuerdo en que es una función lineal y homogénea de la velocidad? ....

A: ... te refieres a cuatro velocidades ...

B: Por supuesto: por lo que una función lineal homogénea de cuatro velocidades es lo más simple y plausible de intentar. Oye, deja de interrumpir mi descubrimiento de una nueva ley, ¿quieres...?

R: .. nuestra ley...

B: Está bien. Pero serás el segundo autor, ¿de acuerdo? De todos modos, esto es lo que tenemos: nuestro campo tiene que ser un tensor covariante de Lorentz de rango dos para representar una forma homogénea lineal de la segunda ley de Newton:

$$m\,\frac{\mathrm{d} v^\mu}{\mathrm{d}\tau} = q\, F^\mu{}_\nu\,v^\nu$$

donde escribiremos$q$para medir la fuerza de acoplamiento entre la 'carga' y el campo.

R: No olvides que una velocidad de cuatro tiene una norma constante de unidad...

B: Oh DUUUH, estaba a punto de decir que podemos hacerlo mejor que esto debido a limitaciones obvias como$\langle \vec{V},\,\vec{V}\rangle = 1$: por lo que la aceleración tiene que ser Minkowski-ortogonal a la velocidad, eso nos da:

$$v^\mu\,\left(\eta_{\mu\,\sigma}\, F^\sigma{}_\nu + \eta_{\nu\,\sigma}\,F^\sigma{}_\mu\right)v^\nu = 0;\forall \vec{V} \Rightarrow \eta_{\mu\,\sigma}\, F^\sigma{}_\nu + \eta_{\nu\,\sigma}\,F^\sigma{}_\mu = 0$$

entonces la forma doblemente covariante de$F$tiene que ser sesgado simétrico para conservar la norma de las cuatro velocidades. ¿Publicamos ahora?

R: ¿Te das cuenta de que ese coágulo de Heaviside es el editor de J. Modern Irreproducible Physics ?

B: Entonces..?

R: ¡Nunca vamos a imprimir eso a menos que escribamos todo en su notación de vectores cruzados completamente chiflada! Él nunca va a ir por eso completamente indexxy$\eta_{\mu\,\sigma}\, F^\sigma{}_\nu + \eta_{\nu\,\sigma}\,F^\sigma{}_\mu = 0$, volcará su taza de té en su propio regazo y se atragantará con su bollo pegajoso tan pronto como lo lea...

B: Oh, entonces, ¿cómo hacemos eso?

R: ¡Solo si soy el primer autor.....!

B: Ah, está bien...

Salen A y B para irse y comer bollos pegajosos mientras A deriva la versión dotty crossy

Escena dos: después de los bollos pegajosos

R: Aquí está la versión dotty crossy de$\eta_{\mu\,\sigma}\, F^\sigma{}_\nu + \eta_{\nu\,\sigma}\,F^\sigma{}_\mu = 0$. Puede sostenerse si y solo si la fuerza .....

B: las tres fuerzas...

A: .... sí, por supuesto: estamos hablando de tonterías aquí. ¿Donde estaba? Puede sostenerse si y solo si las tres fuerzas actúan de acuerdo con:

$$\vec{F} = q\,\alpha\,(\vec{E} + \vec{V}\times \vec{B})$$

dónde$\alpha$es una constante de escala arbitraria, que podemos absorber en la definición de carga si queremos,$\vec{E}$está hecho de los elementos de la fila cero fuera de la diagonal de$F$y$\vec{B}$está hecho de los tres elementos independientes del sesgo-simétrico$3\times 3$bloque inferior derecho de$F$.

(Vea mi respuesta aquí para obtener más información).

La fuerza de Lorentz no se justifica por la relatividad, sino por los experimentos. De hecho, la fuerza de Lorentz se usa para definir los campos$E$y$B$. Tienes razón en que (la forma) es invariante de Lorentz.

EDITAR: la mayoría de los libros de texto abordan el problema diciendo que la forma relativista (4 vectores) de la fuerza de Lorentz es la más simple que se puede formar, por lo que la usamos como un modelo de trabajo un poco como usamos la expresión estándar para el flujo de Poynting como modelo de trabajo, aunque hay muchas maneras de definirlo.

El único otro argumento que conozco (que creo que es mejor) es esencialmente para mostrar que la forma relativista es idéntica a la fuerza eléctrica en el marco de reposo de una partícula y que, por lo tanto, la forma se mantiene generalmente en todos los marcos. El argumento es algo como esto:

En el marco S en el que una partícula con carga q está en reposo (momentáneamente), la fuerza es:

$F_i=qE_i$

(de la definición del campo eléctrico$E$). Somos libres de formar un cuadrivector de la forma:

$F_{ik}U_k$

dónde$U_k$es la 4-velocidad. En el marco de reposo, esta velocidad de 4 es:

$U_k=(c,0)$

y por eso es cierto que

$qF_{ik}U_k/c=(0,qE_i)$

(Tenga en cuenta que dividimos por c para hacer que las cosas coincidan). Entonces podemos ver que los componentes de$qF_{ik}U_k/c$y la fuerza de Lorentz son iguales en el sistema de reposo. Y dado que una ecuación tensorial que es válida en un marco debe ser válida en todos los marcos, la forma$qF_{ik}U_k/c$porque la fuerza debe ser verdadera en todos los marcos.