Mostrando la fuerza de Minkowski en la forma covariante [duplicado]

Así que me gustaría mostrar

$$\begin{equation} K^{\mu} = \frac{q}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{q}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d \tau}\right] \end{equation}$$

y me fui de la siguiente manera:

Puedo reescribir los campos eléctricos y magnéticos de

$$\begin{equation} \textbf{E}(\textbf{r},t) = -\nabla\Phi(\textbf{r},t) -\frac{1}{c}\frac{\partial \textbf{A}(\textbf{r},t)}{\partial t} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \textbf{B}(\textbf{r},t) = \nabla \times \textbf{A}(\textbf{r},t) \end{equation}$$

empleando la notación de cuatro gradientes para obtener

$$\begin{equation} E^i = -(\partial^0A^i - \partial^iA^0) \end{equation}$$

$$\begin{equation} B^i = -(\partial^jA^k - \partial^kA^j) \end{equation}$$

donde los índices$(ijk)$son permutaciones cíclicas de$(123)$. Puedo encontrar el tensor de campo electromagnético contravariante al juntar estas expresiones para los campos eléctrico y magnético en forma de matriz como

$$\begin{equation} F^{\mu\nu} = \partial^{\mu}A^{\nu} - \partial^{\nu}A^{\mu} = \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \end{equation}$$

Si multiplico este tensor por el de cuatro velocidades obtengo

$$\begin{equation*} \begin{aligned} F^{\mu\nu}u_{\nu} = \gamma \begin{bmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z \\ E_x & 0 & -B_z & B_y \\ E_y & B_z & 0 & -B_x \\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c \\ -\dot{x} \\ -\dot{y} \\ -\dot{z} \end{bmatrix} = \gamma \begin{bmatrix} \textbf{E} \cdot \textbf{r} \\ cE_x + \dot{y}B_z - \dot{z}B_y \\ cE_y + \dot{z}B_x - \dot{x}B_z \\ cE_z + \dot{x}B_y - \dot{y}B_x \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation*}$$

que me da

$$\begin{equation} F^{\mu\nu}u_{\nu} = \begin{bmatrix} \textbf{E} \cdot \dot{\textbf{r}} \\ c\textbf{E} + \dot{\textbf{r}} \times \textbf{B} \end{bmatrix} \end{equation}$$

Noté que el componente espacial del lado derecho es similar a la fuerza de Lorentz (menos algunos factores)

$$\begin{equation} \textbf{F}_L = e\textbf{E} + \frac{e}{c}\dot{\textbf{r}} \times \textbf{B} \end{equation}$$

Puedo encontrar a partir de esto la generalización invariante de forma de la segunda ley de Newton para este caso como

$$\begin{equation} \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{d(mu^{\mu})}{d\tau} \end{equation}$$

Ahora mi pregunta es esta: me han dicho el razonamiento en el siguiente paso donde digo que antes de escribir la fuerza de Minkowski dada por el tensor de campo contraído observo que:

$$\begin{equation*} \begin{aligned} (\partial^{\mu}A^{\nu})u_{\nu} = \partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - A^{\nu}\underbrace{\partial^{\nu}u_{\nu}}_\text{=0} \end{aligned} \end{equation*}$$

y

$$\begin{equation*} \begin{aligned} \frac{dA^{\mu}}{d\tau} = (\partial^{\nu}A^{\mu})\frac{dx_{\nu}}{d\tau} + \underbrace{\frac{\partial A^{\mu}}{\partial \tau}}_\text{=0} \end{aligned} \end{equation*}$$

Mi razonamiento para esto es que las respectivas derivadas parciales desaparecen porque$u_{\nu}$no es una función explícita de la componente espacial$x_{\mu}$y$A^{\mu}$no es una función explícita del componente de tiempo$\tau$. Sin embargo, me han dicho que hay un error en mi argumento aquí. A partir de este razonamiento continué diciendo que puedo escribir la fuerza de Minkowski como

$$\begin{equation*} \begin{aligned} K^{mu} = \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{e}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d\tau}\right] \end{aligned} \end{equation*}$$

pero ese argumento no se mantendría si mi razonamiento es incorrecto.

tl; dr: Aparentemente mi razonamiento para obtener de

$$\begin{equation} \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{d(mu^{\mu})}{d\tau} \end{equation}$$

a

$$\begin{equation*} \begin{aligned} K^{mu} = \frac{e}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu} = \frac{e}{c}\left[\partial^{\mu}(A^{\nu}u_{\nu}) - \frac{dA^{\mu}}{d\tau}\right] \end{aligned} \end{equation*}$$

está mal, pero no veo el problema. ¿Alguien en el stackexchange ve mi problema?